Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy ABClà tam giác vuông cân tại $C,AB=2a$ và góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (ABC) bằng ${{60}^{0}}.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của A'C'và $BC$ .Mặt phẳng (AMN) chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng:
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$
B. $\dfrac{7\sqrt{6}{{a}^{3}}}{24}$
C. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{6}$
D. $\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}$
Phương pháp:
- Xác định thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi (AMN).
- Sử dụng định lí: Giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt hoặc đổi một song song, hoặc đồng quy.
- Sử dụng tỉ lệ thể tích Simpson.
- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Áp dụng công thức tính thể tích lăng trụ: $V=Bh$ trong đó B,h lần lượt là chiều cao và diện tích đáy.
Cách giải:
Giả sử $(AMN)\cap \left( {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }} \right)=MP$ ta có:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
(AMN)\cap (ABC)=AN \\
(AMN)\cap \left( {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }} \right)=MP\Rightarrow AN//MP \\
(ABC)//\left( {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }} \right) \\
\end{array} \right. $. Khi đó $ \left( AMN \right)=\left( AMPN \right) $ và thiết diện của lăng trụ cắt bởi$ \left( AMN \right) $ là tứ giác AMPN. Và mặt phẳng này chia khối lăng trụ thành hai phần: $ ANC.MPC' $ và $ ABA.A'B'PM.~$
Ta lại có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
(AMPN)\cap \left( AC{{C}^{\prime }}{{A}^{\prime }} \right)=AM \\
(AMPN)\cap \left( BC{{C}^{\prime }}{{B}^{\prime }} \right)=PN \\
\left( AC{{C}^{\prime }}{{A}^{\prime }} \right)\cap \left( BC{{C}^{\prime }}{{B}^{\prime }} \right)=C{{C}^{\prime }} \\
\end{array}\Rightarrow AM,PN,C{{C}^{\prime }} \right.$đồng quy tại S.
Gọi F là trung điểm của B'C'ta có ${{A}^{\prime }}F//AN//MP$, do đó MP là đường trung bình của tam giác $A'C'F~$
$\Rightarrow \dfrac{MP}{{{A}^{\prime }}F}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{MP}{AN}$
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{MP}{AN}=\dfrac{SP}{SN}=\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{S{{C}^{\prime }}}{SC}=\dfrac{1}{2}$.
Khi đó ta có: $\dfrac{{{V}_{SMPC'}}}{{{V}_{S,A\text{NC}}}}=\dfrac{SM}{SA}\cdot \dfrac{SP}{SN}\cdot \dfrac{S{{C}^{\prime }}}{SC}=\dfrac{1}{8}\Rightarrow {{V}_{S.MNC'}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{S.ANC}}\Rightarrow {{V}_{ANC.MPC'}}=\dfrac{7}{8}{{V}_{S,ANC'}}$.
Ta có ${{V}_{S.ANC}}=\dfrac{1}{3}SC.{{S}_{ANC}}=\dfrac{1}{3}.2CC'.\dfrac{1}{2}{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC,A'B'C'}}$
$\Rightarrow {{V}_{ANC.MPC'}}=\dfrac{7}{24}{{V}_{ABC.A'B'C'}}$, do đó $ANC.MPC'$ là phần có thể tích nhỏ hơn.
Tam giác ABC vuông cân tại C có $AB=2a\Rightarrow AC=BC=\dfrac{AB}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}.$
Gọi Elà trung điểm của AB ta có: $CE\bot AB$ (do tam giác ABC vuông cân tại C).
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
AB\bot CE \\
AB\bot CC' \\
\end{array}\Rightarrow AB\bot \left( CC'E \right)\Rightarrow AB\bot C'E \right.$
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
(ABC)\cap \left( ABC' \right)=AB \\
CE\subset (ABC),CE\bot AB\quad \Rightarrow \angle \left( (ABC);\left( AB{{C}^{\prime }} \right) \right)=\angle \left( CE;{{C}^{\prime }}E \right)=\angle CEC'={{60}^{0}} \\
{{C}^{\prime }}E\subset \left( ABC' \right),{{C}^{\prime }}E\bot AB \\
\end{array} \right.$
Xét tam giác vuông CC'E có $CE=\dfrac{1}{2}AB=a,\angle CEC'={{60}^{0}}\Rightarrow CC'=CE.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}.$
$\Rightarrow {{V}_{ABC.A'B'C'}}=C{{C}^{\prime }}{{S}_{\Delta ABC}}=a\sqrt{3}.{{a}^{2}}={{a}^{3}}\sqrt{3}.$
Vậy ${{V}_{ANC.MPC'}}=\dfrac{7}{24}{{V}_{ABC,A'B'C'}}=\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}.$
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$
B. $\dfrac{7\sqrt{6}{{a}^{3}}}{24}$
C. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{6}$
D. $\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}$
Phương pháp:
- Xác định thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi (AMN).
- Sử dụng định lí: Giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt hoặc đổi một song song, hoặc đồng quy.
- Sử dụng tỉ lệ thể tích Simpson.
- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Áp dụng công thức tính thể tích lăng trụ: $V=Bh$ trong đó B,h lần lượt là chiều cao và diện tích đáy.
Cách giải:
Giả sử $(AMN)\cap \left( {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }} \right)=MP$ ta có:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
(AMN)\cap (ABC)=AN \\
(AMN)\cap \left( {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }} \right)=MP\Rightarrow AN//MP \\
(ABC)//\left( {{A}^{\prime }}{{B}^{\prime }}{{C}^{\prime }} \right) \\
\end{array} \right. $. Khi đó $ \left( AMN \right)=\left( AMPN \right) $ và thiết diện của lăng trụ cắt bởi$ \left( AMN \right) $ là tứ giác AMPN. Và mặt phẳng này chia khối lăng trụ thành hai phần: $ ANC.MPC' $ và $ ABA.A'B'PM.~$
Ta lại có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
(AMPN)\cap \left( AC{{C}^{\prime }}{{A}^{\prime }} \right)=AM \\
(AMPN)\cap \left( BC{{C}^{\prime }}{{B}^{\prime }} \right)=PN \\
\left( AC{{C}^{\prime }}{{A}^{\prime }} \right)\cap \left( BC{{C}^{\prime }}{{B}^{\prime }} \right)=C{{C}^{\prime }} \\
\end{array}\Rightarrow AM,PN,C{{C}^{\prime }} \right.$đồng quy tại S.
Gọi F là trung điểm của B'C'ta có ${{A}^{\prime }}F//AN//MP$, do đó MP là đường trung bình của tam giác $A'C'F~$
$\Rightarrow \dfrac{MP}{{{A}^{\prime }}F}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{MP}{AN}$
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{MP}{AN}=\dfrac{SP}{SN}=\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{S{{C}^{\prime }}}{SC}=\dfrac{1}{2}$.
Khi đó ta có: $\dfrac{{{V}_{SMPC'}}}{{{V}_{S,A\text{NC}}}}=\dfrac{SM}{SA}\cdot \dfrac{SP}{SN}\cdot \dfrac{S{{C}^{\prime }}}{SC}=\dfrac{1}{8}\Rightarrow {{V}_{S.MNC'}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{S.ANC}}\Rightarrow {{V}_{ANC.MPC'}}=\dfrac{7}{8}{{V}_{S,ANC'}}$.
Ta có ${{V}_{S.ANC}}=\dfrac{1}{3}SC.{{S}_{ANC}}=\dfrac{1}{3}.2CC'.\dfrac{1}{2}{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC,A'B'C'}}$
$\Rightarrow {{V}_{ANC.MPC'}}=\dfrac{7}{24}{{V}_{ABC.A'B'C'}}$, do đó $ANC.MPC'$ là phần có thể tích nhỏ hơn.
Tam giác ABC vuông cân tại C có $AB=2a\Rightarrow AC=BC=\dfrac{AB}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}.$
Gọi Elà trung điểm của AB ta có: $CE\bot AB$ (do tam giác ABC vuông cân tại C).
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
AB\bot CE \\
AB\bot CC' \\
\end{array}\Rightarrow AB\bot \left( CC'E \right)\Rightarrow AB\bot C'E \right.$
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
(ABC)\cap \left( ABC' \right)=AB \\
CE\subset (ABC),CE\bot AB\quad \Rightarrow \angle \left( (ABC);\left( AB{{C}^{\prime }} \right) \right)=\angle \left( CE;{{C}^{\prime }}E \right)=\angle CEC'={{60}^{0}} \\
{{C}^{\prime }}E\subset \left( ABC' \right),{{C}^{\prime }}E\bot AB \\
\end{array} \right.$
Xét tam giác vuông CC'E có $CE=\dfrac{1}{2}AB=a,\angle CEC'={{60}^{0}}\Rightarrow CC'=CE.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}.$
$\Rightarrow {{V}_{ABC.A'B'C'}}=C{{C}^{\prime }}{{S}_{\Delta ABC}}=a\sqrt{3}.{{a}^{2}}={{a}^{3}}\sqrt{3}.$
Vậy ${{V}_{ANC.MPC'}}=\dfrac{7}{24}{{V}_{ABC,A'B'C'}}=\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}.$
Đáp án D.