Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $\widehat{BAC}={{60}^{0}}$, $AB=3a$ và $AC=4a$. Gọi $M$ là trung điểm của ${B}'{C}'$, biết khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( {B}'AC \right)$ bằng $\dfrac{3a\sqrt{15}}{10}$. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. $27{{a}^{3}}$.
B. $9{{a}^{3}}$.
C. $4{{a}^{3}}$.
D. ${{a}^{3}}$.
Ta có ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}.3a.4a.\sin {{60}^{0}}=3\sqrt{3}{{a}^{2}}$.
Gọi $H$ là giao điểm của $MB$ và ${B}'C$. Khi đó, theo định lý Ta-let ta có $\dfrac{HM}{HB}=\dfrac{MB'}{BC}=\dfrac{1}{2}$.
Ta có $\dfrac{d\left( M,\left( {B}'AC \right) \right)}{d\left( B,\left( {B}'AC \right) \right)}=\dfrac{HM}{HB}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow d\left( B,\left( {B}'AC \right) \right)=2d\left( M,\left( {B}'AC \right) \right)=\dfrac{3a\sqrt{15}}{5}$.
Từ $B$ kẻ $BK$ vuông góc với $AC$ với $K\in AC$. Kẻ $BI$ vuông góc với ${B}'K$ với $I\in {B}'K$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BI\bot {B}'K \\
& BI\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BI\bot \left( {B}'AC \right)\Rightarrow BI=d\left( B,\left( {B}'AC \right) \right)=\dfrac{3a\sqrt{15}}{5}$.
Lại có $BK=\dfrac{2{{S}_{\Delta ABC}}}{AC}=\dfrac{2.3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{4a}=\dfrac{3\sqrt{3}a}{2}$ và $\dfrac{1}{B{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{BB{{'}^{2}}}\Rightarrow B{B}'=\sqrt{\dfrac{B{{I}^{2}}.B{{K}^{2}}}{B{{K}^{2}}-B{{I}^{2}}}}=3\sqrt{3}a$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta ABC}}.B{B}'=3\sqrt{3}{{a}^{2}}.3\sqrt{3}a=27{{a}^{3}}.$
A. $27{{a}^{3}}$.
B. $9{{a}^{3}}$.
C. $4{{a}^{3}}$.
D. ${{a}^{3}}$.
Ta có ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}.3a.4a.\sin {{60}^{0}}=3\sqrt{3}{{a}^{2}}$.
Gọi $H$ là giao điểm của $MB$ và ${B}'C$. Khi đó, theo định lý Ta-let ta có $\dfrac{HM}{HB}=\dfrac{MB'}{BC}=\dfrac{1}{2}$.
Ta có $\dfrac{d\left( M,\left( {B}'AC \right) \right)}{d\left( B,\left( {B}'AC \right) \right)}=\dfrac{HM}{HB}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow d\left( B,\left( {B}'AC \right) \right)=2d\left( M,\left( {B}'AC \right) \right)=\dfrac{3a\sqrt{15}}{5}$.
Từ $B$ kẻ $BK$ vuông góc với $AC$ với $K\in AC$. Kẻ $BI$ vuông góc với ${B}'K$ với $I\in {B}'K$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BI\bot {B}'K \\
& BI\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BI\bot \left( {B}'AC \right)\Rightarrow BI=d\left( B,\left( {B}'AC \right) \right)=\dfrac{3a\sqrt{15}}{5}$.
Lại có $BK=\dfrac{2{{S}_{\Delta ABC}}}{AC}=\dfrac{2.3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{4a}=\dfrac{3\sqrt{3}a}{2}$ và $\dfrac{1}{B{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{B{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{BB{{'}^{2}}}\Rightarrow B{B}'=\sqrt{\dfrac{B{{I}^{2}}.B{{K}^{2}}}{B{{K}^{2}}-B{{I}^{2}}}}=3\sqrt{3}a$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{\Delta ABC}}.B{B}'=3\sqrt{3}{{a}^{2}}.3\sqrt{3}a=27{{a}^{3}}.$
Đáp án A.