Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $\widehat{BAC}=60{}^\circ $, $AB=3a$ và $AC=4a$. Gọi $M$ là trung điểm của ${B}'{C}'$, biết khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( {B}'AC \right)$ bằng $\dfrac{3a\sqrt{15}}{10}$. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. $27{{a}^{3}}$.
B. $9{{a}^{3}}$.
C. $4{{a}^{3}}$.
D. ${{a}^{3}}$.
Ta có: $d\left( M;\left( {B}'AC \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( {C}';\left( {B}'AC \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( B;\left( {B}'AC \right) \right)$
Gọi $I$ là hình chiếu của $B$ trên $AC$ và $H$ là hình chiếu của $B$ trên ${B}'I$
$\Rightarrow BH\bot \left( {B}'AC \right)\Rightarrow d\left( B;\left( {B}'AC \right) \right)=BH$ $\Rightarrow BH=\dfrac{3a\sqrt{15}}{5}$.
Xét tam giác $ABC$ có ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin 60{}^\circ =3{{a}^{2}}\sqrt{3}$ $\Rightarrow BI=\dfrac{2S}{AC}=\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}$.
Xét tam giác ${B}'BI$ có ${B}'B=\dfrac{BI.BH}{\sqrt{B{{I}^{2}}-B{{H}^{2}}}}=3a\sqrt{3}$
Vậy thể tích lăng trụ là: $V={{S}_{\Delta ABC}}.{B}'B=3{{a}^{2}}\sqrt{3}.3a\sqrt{3}=27{{a}^{3}}$.
A. $27{{a}^{3}}$.
B. $9{{a}^{3}}$.
C. $4{{a}^{3}}$.
D. ${{a}^{3}}$.
Gọi $I$ là hình chiếu của $B$ trên $AC$ và $H$ là hình chiếu của $B$ trên ${B}'I$
$\Rightarrow BH\bot \left( {B}'AC \right)\Rightarrow d\left( B;\left( {B}'AC \right) \right)=BH$ $\Rightarrow BH=\dfrac{3a\sqrt{15}}{5}$.
Xét tam giác $ABC$ có ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin 60{}^\circ =3{{a}^{2}}\sqrt{3}$ $\Rightarrow BI=\dfrac{2S}{AC}=\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}$.
Xét tam giác ${B}'BI$ có ${B}'B=\dfrac{BI.BH}{\sqrt{B{{I}^{2}}-B{{H}^{2}}}}=3a\sqrt{3}$
Vậy thể tích lăng trụ là: $V={{S}_{\Delta ABC}}.{B}'B=3{{a}^{2}}\sqrt{3}.3a\sqrt{3}=27{{a}^{3}}$.
Đáp án A.