Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,AB=2a.$ Góc giữa đường thẳng $B{C}'$ và mặt phẳng $\left( AC{C}'{A}' \right)$ bằng $30{}^\circ $. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:
A. $3{{a}^{3}}.$
B. ${{a}^{3}}.$
C. $12\sqrt{2}{{a}^{3}}.$
D. $4\sqrt{2}{{a}^{3}}.$
Ta có: $\left. \begin{aligned}
& AB\bot AC \\
& AB\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AB\bot \left( AC{C}'{A}' \right)$
Suy ra góc giữa đường thẳng $B{C}'$ và mặt phẳng $\left( AC{C}'{A}' \right)$ bằng góc giữa đường thẳng $B{C}'$ và đường thẳng $A{C}'\Rightarrow \widehat{A{C}'B}=30{}^\circ .$
Ta có $A{C}'=\dfrac{AB}{\tan 30{}^\circ }=2\sqrt{3}a\Rightarrow A{A}'=\sqrt{12{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}}=2\sqrt{2}a$
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.A{A}'=\dfrac{1}{2}.2a.2a.2\sqrt{2}a=4\sqrt{2}{{a}^{3}}$
A. $3{{a}^{3}}.$
B. ${{a}^{3}}.$
C. $12\sqrt{2}{{a}^{3}}.$
D. $4\sqrt{2}{{a}^{3}}.$
& AB\bot AC \\
& AB\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AB\bot \left( AC{C}'{A}' \right)$
Suy ra góc giữa đường thẳng $B{C}'$ và mặt phẳng $\left( AC{C}'{A}' \right)$ bằng góc giữa đường thẳng $B{C}'$ và đường thẳng $A{C}'\Rightarrow \widehat{A{C}'B}=30{}^\circ .$
Ta có $A{C}'=\dfrac{AB}{\tan 30{}^\circ }=2\sqrt{3}a\Rightarrow A{A}'=\sqrt{12{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}}=2\sqrt{2}a$
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.A{A}'=\dfrac{1}{2}.2a.2a.2\sqrt{2}a=4\sqrt{2}{{a}^{3}}$
Đáp án D.