Cho khối lăng trụ đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có cạnh đáy bằng $2 a$ ...

The Collectors · 15/3/22

Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đều

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có cạnh đáy bằng

2 a

. Khoảng cách từ điểm

A^{'}

đến mặt phẳng

(A B^{'} C^{'})

bằng

a

. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A.

\frac{3 \sqrt{2} a^{3}}{2}

.
B.

\frac{3 \sqrt{2} a^{3}}{8}

.
C.

\frac{\sqrt{2} a^{3}}{2}

.
D.

\frac{3 \sqrt{2} a^{3}}{6}

.

Gọi

M

là trung điểm của

B^{'} C^{'}

và

I

là hình chiếu của

A^{'}

lên

A M

. Khi đó ta có

{\begin{aligned} B^{'} C^{'} ⊥ A^{'} M \\ B^{'} C^{'} ⊥ A^{'} A \end{aligned} \Rightarrow B^{'} C^{'} ⊥ (A^{'} M A) \Rightarrow B^{'} C^{'} ⊥ A^{'} I

(1)
Mà

A M ⊥ A^{'} I (2)

Từ (1) và (2) suy ra

A^{'} I ⊥ (A B^{'} C^{'})

\Rightarrow d (A^{'}, (A B^{'} C^{'})) = A^{'} I = a

.
Xét tam giác vuông

A A^{'} M : \frac{1}{A^{'} I^{2}} = \frac{1}{A {A^{'}}^{2}} + \frac{1}{A^{'} M^{2}} \Rightarrow A A^{'} = \frac{a \sqrt{6}}{2}

\Rightarrow

Thể tích khối lăng trụ đã cho là

V = A A^{'} . S_{Δ A B C} = \frac{a \sqrt{6}}{2} . \frac{4 a^{2} \sqrt{3}}{4} =

\frac{3 \sqrt{2} a^{3}}{2}

.

Đáp án A.

Cho khối lăng trụ đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng 2a...