Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh đáy bằng $2a$. Khoảng cách từ điểm ${A}'$ đến mặt phẳng $\left( A{B}'{C}' \right)$ bằng $a$. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A. $\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{2}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{8}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{2}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{6}$.
Gọi $M$ là trung điểm của ${B}'{C}'$ và $I$ là hình chiếu của ${A}'$ lên $AM$. Khi đó ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& {B}'{C}'\bot {A}'M \\
& {B}'{C}'\bot {A}'A \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {B}'{C}'\bot \left( {A}'MA \right)\Rightarrow {B}'{C}'\bot {A}'I$ (1)
Mà $AM\bot {A}'I \left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra ${A}'I\bot \left( A{B}'{C}' \right)$ $\Rightarrow d\left( {A}', \left( A{B}'{C}' \right) \right)={A}'I=a$.
Xét tam giác vuông $A{A}'M:\dfrac{1}{{A}'{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{{A}'{{M}^{2}}}\Rightarrow A{A}'=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
$\Rightarrow $ Thể tích khối lăng trụ đã cho là $V=A{A}'.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=$ $\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{2}$.
A. $\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{2}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{8}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{2}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{6}$.
$\left\{ \begin{aligned}
& {B}'{C}'\bot {A}'M \\
& {B}'{C}'\bot {A}'A \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {B}'{C}'\bot \left( {A}'MA \right)\Rightarrow {B}'{C}'\bot {A}'I$ (1)
Mà $AM\bot {A}'I \left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra ${A}'I\bot \left( A{B}'{C}' \right)$ $\Rightarrow d\left( {A}', \left( A{B}'{C}' \right) \right)={A}'I=a$.
Xét tam giác vuông $A{A}'M:\dfrac{1}{{A}'{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}+\dfrac{1}{{A}'{{M}^{2}}}\Rightarrow A{A}'=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
$\Rightarrow $ Thể tích khối lăng trụ đã cho là $V=A{A}'.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=$ $\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{2}$.
Đáp án A.