Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$, đáy $ABCD$ là hình bình hành có góc $\angle BAC=90{}^\circ $, góc $\angle ACB=30{}^\circ $, tam giác $BC{C}'$ là tam giác đều cạnh $a$, mặt phẳng $\left( AC{C}'{A}' \right)$ vuông góc với đáy. Thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho là
A. $V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{8}$.
B. $V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}$.
C. $V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{24}$.
D. $V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{4}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của ${C}'$ xuống mặt đáy $\left( ABCD \right)$. Vì mặt phẳng $\left( AC{C}'{A}' \right)$ vuông góc với đáy nên $H\in AC$, mặt khác ${C}'B={C}'C$ nên $H$ thuộc trung trực của $BC$ dựng trong mặt đáy.
Từ giả thiết, ta có $BC=a,AC=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},AB=\dfrac{a}{2}$.
Ta có: $CH=\dfrac{CM}{\cos 30{}^\circ }=\dfrac{a}{2}.\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow C'H=\sqrt{C'{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Vậy: $V={C}'H .{{S}_{ABCD}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.\left( \dfrac{a}{2}.\dfrac{\sqrt{3}a}{2} \right)=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}$.
A. $V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{8}$.
B. $V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}$.
C. $V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{24}$.
D. $V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{4}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của ${C}'$ xuống mặt đáy $\left( ABCD \right)$. Vì mặt phẳng $\left( AC{C}'{A}' \right)$ vuông góc với đáy nên $H\in AC$, mặt khác ${C}'B={C}'C$ nên $H$ thuộc trung trực của $BC$ dựng trong mặt đáy.
Từ giả thiết, ta có $BC=a,AC=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},AB=\dfrac{a}{2}$.
Ta có: $CH=\dfrac{CM}{\cos 30{}^\circ }=\dfrac{a}{2}.\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow C'H=\sqrt{C'{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Vậy: $V={C}'H .{{S}_{ABCD}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.\left( \dfrac{a}{2}.\dfrac{\sqrt{3}a}{2} \right)=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}$.
Đáp án D.