Cho khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ , khoảng cách từ $C$ đến $B B^{'}$ bằng $2 a,$ khoảng cách từ $A$ đến các đường thẳng $B B^{'}$ và $C C^{'}$ lần lượt bằng $a$ và...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Cho khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

, khoảng cách từ

C

đến

B B^{'}

bằng

2 a,

khoảng cách từ

A

đến các đường thẳng

B B^{'}

và

C C^{'}

lần lượt bằng

a

và

a \sqrt{3}

, hình chiếu vuông góc của

A

lên mặt phẳng

(A^{'} B^{'} C^{'})

là trung điểm

M

của

B^{'} C^{'}

và

A^{'} M = \frac{2 a \sqrt{3}}{3} .

Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A.

a^{3} \sqrt{3}

.
B.

\frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3}

.
C.

2 a^{3}

.
D.

a^{3}

.

Gọi

E, F

lần lượt là hình chiếu vuông góc của

A

lên

B B^{'}, C C^{'} \Rightarrow A E = a, A F = a \sqrt{3} .

Ta có

{\begin{aligned} B B^{'} ⊥ A E \\ B B^{'} ⊥ A F \end{aligned} \Rightarrow B B^{'} \Rightarrow (A E F) \Rightarrow B B^{'} ⊥ E F \Rightarrow E F = d (C, B B^{'}) = 2 a .

Suy ra

Δ A E F

vuông tại

A .

Gọi

K = M M^{'} \cap E F \Rightarrow K

là trung điểm của

E F \Rightarrow A K = \frac{1}{2} E F = a .

Lại có

M M^{'} / / B B^{'} \Rightarrow M M^{'} ⊥ (A E F) \Rightarrow M M^{'} ⊥ A K .

Suy ra

\frac{1}{A K^{2}} = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A M {^{'}}^{2}} \Rightarrow \frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{3 a^{2}}{4} \Rightarrow A M = 2 a .

Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

A

trên

E F \Rightarrow A H ⊥ (B C C^{'} B^{'}) .

Ta có

\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A E^{2}} + \frac{1}{A F^{2}} \Rightarrow A H = \frac{a \sqrt{3}}{2}, M^{'} M^{2} = A M^{2} + A M {^{'}}^{2} = \frac{16 a}{3} \Rightarrow M M^{'} = \frac{4 \sqrt{3} a}{3} .

Ta cũng có

S_{B C C^{'} B^{'}} = d (C, B B^{'}) . B B^{'} = \frac{8 \sqrt{3} a^{2}}{3} .

Suy ra

V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{3}{2} V_{A . B C C^{'} B^{'}} = \frac{3}{2} . \frac{1}{3} . A H . S_{B C C^{'} B^{'}} = 2 a^{3} .

Đáp án C.

Cho khối lăng trụ ABC.A′B′C′, khoảng cách từ C đến BB′ bằng 2a, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB′ và CC′ lần lượt bằng a và...