Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$, khoảng cách từ $C$ đến $BB'$ bằng $2a,$ khoảng cách từ $A$ đến các đường thẳng $BB'$ và $CC'$ lần lượt bằng $a$ và $a\sqrt{3}$, hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $\left( A'B'C' \right)$ là trung điểm $M$ của $B'C'$ và $A'M=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.$ Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
C. $2{{a}^{3}}$.
D. ${{a}^{3}}$.
Gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BB',CC'\Rightarrow AE=a,AF=a\sqrt{3}.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BB'\bot AE \\
& BB'\bot AF \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BB'\Rightarrow \left( AEF \right)\Rightarrow BB'\bot EF\Rightarrow EF=d\left( C,BB' \right)=2a.$
Suy ra $\Delta AEF$ vuông tại $A.$
Gọi $K=MM'\cap EF\Rightarrow K$ là trung điểm của $EF\Rightarrow AK=\dfrac{1}{2}EF=a.$
Lại có $MM'//BB'\Rightarrow MM'\bot \left( AEF \right)\Rightarrow MM'\bot AK.$
Suy ra $\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{AM{{'}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow AM=2a.$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $EF\Rightarrow AH\bot \left( BCC'B' \right).$
Ta có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{F}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},M'{{M}^{2}}=A{{M}^{2}}+AM{{'}^{2}}=\dfrac{16a}{3}\Rightarrow MM'=\dfrac{4\sqrt{3}a}{3}.$
Ta cũng có ${{S}_{BCC'B'}}=d\left( C,BB' \right).BB'=\dfrac{8\sqrt{3}{{a}^{2}}}{3}.$
Suy ra ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{3}{2}{{V}_{A.BCC'B'}}=\dfrac{3}{2}.\dfrac{1}{3}.AH.{{S}_{BCC'B'}}=2{{a}^{3}}.$
A. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
C. $2{{a}^{3}}$.
D. ${{a}^{3}}$.
Gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BB',CC'\Rightarrow AE=a,AF=a\sqrt{3}.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BB'\bot AE \\
& BB'\bot AF \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BB'\Rightarrow \left( AEF \right)\Rightarrow BB'\bot EF\Rightarrow EF=d\left( C,BB' \right)=2a.$
Suy ra $\Delta AEF$ vuông tại $A.$
Gọi $K=MM'\cap EF\Rightarrow K$ là trung điểm của $EF\Rightarrow AK=\dfrac{1}{2}EF=a.$
Lại có $MM'//BB'\Rightarrow MM'\bot \left( AEF \right)\Rightarrow MM'\bot AK.$
Suy ra $\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{AM{{'}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow AM=2a.$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $EF\Rightarrow AH\bot \left( BCC'B' \right).$
Ta có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{F}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},M'{{M}^{2}}=A{{M}^{2}}+AM{{'}^{2}}=\dfrac{16a}{3}\Rightarrow MM'=\dfrac{4\sqrt{3}a}{3}.$
Ta cũng có ${{S}_{BCC'B'}}=d\left( C,BB' \right).BB'=\dfrac{8\sqrt{3}{{a}^{2}}}{3}.$
Suy ra ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{3}{2}{{V}_{A.BCC'B'}}=\dfrac{3}{2}.\dfrac{1}{3}.AH.{{S}_{BCC'B'}}=2{{a}^{3}}.$
Đáp án C.