Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có thể tích bằng 30. Gọi $O$ là tâm của hình bình hành $ABB'A'$ và $G$ là trọng tâm tam giác $A'B'C'.$ Thể tích tứ diện $COGB'$ bằng
A. $\dfrac{7}{3}$
B. $\dfrac{15}{4}$
C. $\dfrac{5}{2}$
D. $\dfrac{10}{3}$
Gọi $S,h$ lần lượt là diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ $\Rightarrow S.h=30.$
Gọi $M$ là trung điểm của $A'B'$ và $CO\cap C'M=E$
Trong tam giác $CC'E,$ ta có $\dfrac{EM}{EC'}=\dfrac{EO}{EC}=\dfrac{OM}{CC'}=\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow M$ là trung điểm của $C'E$ và $O$ là trung điểm của $CE$.
$\Rightarrow GE=2GC'\Rightarrow {{S}_{B'GE}}=2{{S}_{B'GC'}}$ mà ${{S}_{B'GC'}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{A'B'C'}}$
$\Rightarrow {{S}_{GB'E}}=\dfrac{2}{3}{{S}_{A'B'C'}}=\dfrac{2}{3}S,$ mặt phẳng $d\left( C,\left( GB'E \right) \right)=h\Rightarrow {{V}_{C.GB'E}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{GB'E}}.d\left( C,\left( GB'E \right) \right)$
$\Rightarrow {{V}_{C.GB'E}}=\dfrac{2}{9}Sh=\dfrac{20}{3}.$
Lại có $\dfrac{{{V}_{C.GOB'}}}{{{V}_{C.GB'E}}}=\dfrac{CO}{CE}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{C.GOB'}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{C.GB'E}}=\dfrac{10}{3}.$
Vậy ${{V}_{COGB'}}=\dfrac{10}{3}.$
A. $\dfrac{7}{3}$
B. $\dfrac{15}{4}$
C. $\dfrac{5}{2}$
D. $\dfrac{10}{3}$
Gọi $S,h$ lần lượt là diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ $\Rightarrow S.h=30.$
Gọi $M$ là trung điểm của $A'B'$ và $CO\cap C'M=E$
Trong tam giác $CC'E,$ ta có $\dfrac{EM}{EC'}=\dfrac{EO}{EC}=\dfrac{OM}{CC'}=\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow M$ là trung điểm của $C'E$ và $O$ là trung điểm của $CE$.
$\Rightarrow GE=2GC'\Rightarrow {{S}_{B'GE}}=2{{S}_{B'GC'}}$ mà ${{S}_{B'GC'}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{A'B'C'}}$
$\Rightarrow {{S}_{GB'E}}=\dfrac{2}{3}{{S}_{A'B'C'}}=\dfrac{2}{3}S,$ mặt phẳng $d\left( C,\left( GB'E \right) \right)=h\Rightarrow {{V}_{C.GB'E}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{GB'E}}.d\left( C,\left( GB'E \right) \right)$
$\Rightarrow {{V}_{C.GB'E}}=\dfrac{2}{9}Sh=\dfrac{20}{3}.$
Lại có $\dfrac{{{V}_{C.GOB'}}}{{{V}_{C.GB'E}}}=\dfrac{CO}{CE}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{C.GOB'}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{C.GB'E}}=\dfrac{10}{3}.$
Vậy ${{V}_{COGB'}}=\dfrac{10}{3}.$
Đáp án D.