Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có thể tích bằng 3. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AA',N$ là điểm thuộc $BB'$ sao cho $\overrightarrow{BN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BB'}.$ Đường thẳng $CM$ cắt đường thẳng $C'A'$ tại $P$ và cắt đường thẳng $C'B'$ tại $Q.$ Thể tích khối đa diện lồi $A'MPB'NQ$ bằng:
A. $\dfrac{7}{2}$
B. $\dfrac{7}{6}$
C. $\dfrac{7}{9}$
D. $\dfrac{7}{3}$
A. $\dfrac{7}{2}$
B. $\dfrac{7}{6}$
C. $\dfrac{7}{9}$
D. $\dfrac{7}{3}$
Phương pháp:
Phân chia và lắp ghép khối đa diện.
Cách giải:
Không mất tính tổng quát, ta giả sử lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng.
Ta có ${{V}_{A'MPB'NQ}}={{V}_{C.C'PQ}}-{{V}_{CC'A'MNB'}}.$
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
$\dfrac{CM}{PM}=\dfrac{AM}{A'M}=1\Rightarrow \dfrac{CM}{CP}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{C'A'}{C'P}$
$\dfrac{CN}{NQ}=\dfrac{BN}{B'N}=2\Rightarrow \dfrac{CN}{CQ}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{C'B'}{C'Q}$
$\Rightarrow \dfrac{{{S}_{A'B'C'}}}{{{S}_{C'PQ}}}=\dfrac{C'A'}{C'P}.\dfrac{C'B'}{CQ}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{C.C'A'B'}}}{{{V}_{C.C'PQ}}}=\dfrac{{{S}_{A'B'C'}}}{{{S}_{C'PQ}}}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{V}_{C.C'PQ}}=3{{V}_{C.C'A'B'}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}$
Ta có: ${{S}_{A'MNB'}}=\dfrac{1}{2}\left( A'M+B'N \right).A'B'=\dfrac{1}{2}A'B'.\left( \dfrac{1}{2}AA'+\dfrac{1}{3}AA' \right)=\dfrac{5}{12}{{S}_{ABB'A'}}$
$\Rightarrow {{S}_{ABMN}}=\dfrac{7}{12}{{S}_{ABB'A'}}\Rightarrow {{V}_{C.ABMN}}=\dfrac{7}{12}{{V}_{C.ABB'A'}}.$
Mà ${{V}_{C.ABB'A'}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.A'B'C'}}\Rightarrow {{V}_{C.ABMN}}=\dfrac{7}{12}.\dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{7}{18}{{V}_{ABC.A'B'C'}}.$
$\Rightarrow {{V}_{CC'.A'MNB'}}=\dfrac{11}{18}{{V}_{ABC.A'B'C'}}.$
$\Rightarrow {{V}_{A'MPB'NQ}}={{V}_{C.C'PQ}}-{{V}_{CC'A'MNB'}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}-\dfrac{11}{18}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{7}{18}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{7}{18}.3=\dfrac{7}{6}.$
Phân chia và lắp ghép khối đa diện.
Cách giải:
Không mất tính tổng quát, ta giả sử lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng.
Ta có ${{V}_{A'MPB'NQ}}={{V}_{C.C'PQ}}-{{V}_{CC'A'MNB'}}.$
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
$\dfrac{CM}{PM}=\dfrac{AM}{A'M}=1\Rightarrow \dfrac{CM}{CP}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{C'A'}{C'P}$
$\dfrac{CN}{NQ}=\dfrac{BN}{B'N}=2\Rightarrow \dfrac{CN}{CQ}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{C'B'}{C'Q}$
$\Rightarrow \dfrac{{{S}_{A'B'C'}}}{{{S}_{C'PQ}}}=\dfrac{C'A'}{C'P}.\dfrac{C'B'}{CQ}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{C.C'A'B'}}}{{{V}_{C.C'PQ}}}=\dfrac{{{S}_{A'B'C'}}}{{{S}_{C'PQ}}}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{V}_{C.C'PQ}}=3{{V}_{C.C'A'B'}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}$
Ta có: ${{S}_{A'MNB'}}=\dfrac{1}{2}\left( A'M+B'N \right).A'B'=\dfrac{1}{2}A'B'.\left( \dfrac{1}{2}AA'+\dfrac{1}{3}AA' \right)=\dfrac{5}{12}{{S}_{ABB'A'}}$
$\Rightarrow {{S}_{ABMN}}=\dfrac{7}{12}{{S}_{ABB'A'}}\Rightarrow {{V}_{C.ABMN}}=\dfrac{7}{12}{{V}_{C.ABB'A'}}.$
Mà ${{V}_{C.ABB'A'}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.A'B'C'}}\Rightarrow {{V}_{C.ABMN}}=\dfrac{7}{12}.\dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{7}{18}{{V}_{ABC.A'B'C'}}.$
$\Rightarrow {{V}_{CC'.A'MNB'}}=\dfrac{11}{18}{{V}_{ABC.A'B'C'}}.$
$\Rightarrow {{V}_{A'MPB'NQ}}={{V}_{C.C'PQ}}-{{V}_{CC'A'MNB'}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}-\dfrac{11}{18}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{7}{18}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{7}{18}.3=\dfrac{7}{6}.$
Đáp án B.