Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ ABC . A ' B ' C ' có thể tích bằng 2020. Gọi ,M N và P lần lượt là các điểm thỏa mãn $\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MC'},\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{-~2NA'}~$ và $\overrightarrow{PB}=-3\overrightarrow{PC}$. Tính thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm $A',B',C',M,N,P~$
A. 620
B. 505
C. $\dfrac{2525}{3}$
D. $\dfrac{2020}{3}$
A. 620
B. 505
C. $\dfrac{2525}{3}$
D. $\dfrac{2020}{3}$
Phương pháp:
${{V}_{MNP.A'B'C'}}={{V}_{MNPAC}}+{{V}_{B.A'B'C'}}.~$
Cách giải:
Đặt $V={{V}_{ABC.A'B'C'}}.~$
Ta có: $S{{}_{A'C'M}}=\dfrac{1}{2}{{\text{S}}_{AA'C'}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{ACC'A'}}$
$\Rightarrow {{V}_{B.A'C'M}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{B.ACC'A'}}.$
Mà ${{V}_{B.ACC'A'}}=\dfrac{2}{3}V\Rightarrow {{V}_{B.A'C'M}}=\dfrac{1}{6}V.~$
Ta có:
$\dfrac{{{V}_{B.MNP}}}{{{V}_{B.MA'C'}}}=\dfrac{BN}{BA'}.\dfrac{BP}{BC'}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow {{V}_{B,MNP}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{B.MA'C'}}$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow {{V}_{MNP.A'B'C'}}={{V}_{B.MA'C'}}-{{V}_{B.MNP}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{B.MA'C'}} \\
& \Rightarrow {{V}_{MNP.A'C'}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{6}V=\dfrac{V}{12} \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow {{V}_{MNP.A'C'}}=\dfrac{2020}{12}=\dfrac{505}{3}$
Ta có: ${{V}_{B.A'B'C'}}=\dfrac{1}{3}V=\dfrac{2020}{3}$
Vậy ${{V}_{MNP.A'B'C'}}={{V}_{MNPAC}}+{{V}_{BA.B'C'}}=\dfrac{505}{3}+\dfrac{2020}{3}=\dfrac{2525}{3}$.
${{V}_{MNP.A'B'C'}}={{V}_{MNPAC}}+{{V}_{B.A'B'C'}}.~$
Cách giải:
Đặt $V={{V}_{ABC.A'B'C'}}.~$
Ta có: $S{{}_{A'C'M}}=\dfrac{1}{2}{{\text{S}}_{AA'C'}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{ACC'A'}}$
$\Rightarrow {{V}_{B.A'C'M}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{B.ACC'A'}}.$
Mà ${{V}_{B.ACC'A'}}=\dfrac{2}{3}V\Rightarrow {{V}_{B.A'C'M}}=\dfrac{1}{6}V.~$
Ta có:
$\dfrac{{{V}_{B.MNP}}}{{{V}_{B.MA'C'}}}=\dfrac{BN}{BA'}.\dfrac{BP}{BC'}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow {{V}_{B,MNP}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{B.MA'C'}}$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow {{V}_{MNP.A'B'C'}}={{V}_{B.MA'C'}}-{{V}_{B.MNP}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{B.MA'C'}} \\
& \Rightarrow {{V}_{MNP.A'C'}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{6}V=\dfrac{V}{12} \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow {{V}_{MNP.A'C'}}=\dfrac{2020}{12}=\dfrac{505}{3}$
Ta có: ${{V}_{B.A'B'C'}}=\dfrac{1}{3}V=\dfrac{2020}{3}$
Vậy ${{V}_{MNP.A'B'C'}}={{V}_{MNPAC}}+{{V}_{BA.B'C'}}=\dfrac{505}{3}+\dfrac{2020}{3}=\dfrac{2525}{3}$.
Đáp án C.