Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $AB=a$. Góc giữa đường thẳng $B{C}'$ và mặt phẳng $\left( AC{C}'{A}' \right)$ bằng $30{}^\circ $. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. $\dfrac{1}{8}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{3}{8}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}{{a}^{3}}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BA\bot AC \\
& BA\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right. $ nên $ BA\bot \left( AC{C}'{A}' \right) $ suy ra $ \left( B{C}',\left( AC{C}'{A}' \right) \right)=\widehat{B{C}'A}=30{}^\circ $.
Khi đó $A{C}'=\dfrac{BA}{\tan \widehat{B{C}'A}}=\dfrac{a}{\tan 30{}^\circ }=a\sqrt{3}$ suy ra $A{A}'=\sqrt{A{{{{C}'}}^{2}}-{A}'{{{{C}'}}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Thể tích khối lăng trụ đã cho là ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=A{A}'.{{S}_{ABC}}=a\sqrt{2}.\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}=$.
A. $\dfrac{1}{8}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{3}{8}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}{{a}^{3}}$.
& BA\bot AC \\
& BA\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right. $ nên $ BA\bot \left( AC{C}'{A}' \right) $ suy ra $ \left( B{C}',\left( AC{C}'{A}' \right) \right)=\widehat{B{C}'A}=30{}^\circ $.
Khi đó $A{C}'=\dfrac{BA}{\tan \widehat{B{C}'A}}=\dfrac{a}{\tan 30{}^\circ }=a\sqrt{3}$ suy ra $A{A}'=\sqrt{A{{{{C}'}}^{2}}-{A}'{{{{C}'}}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Thể tích khối lăng trụ đã cho là ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=A{A}'.{{S}_{ABC}}=a\sqrt{2}.\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}=$.
Đáp án D.