Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB=a, BC=2a$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh ${A}'$ lên mặt phẳng $\left(ABC \right)$ là trung điểm $H$ của cạnh $AC$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left(BC{C}'{B}' \right)$ và $\left(ABC \right)$ bằng $60{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. $\frac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$.
B. $\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
C. $\frac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
D. $\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{16}$.
Gọi $K, M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, {A}'{B}'$ và ${A}'{C}'$.
Dễ thấy $\left( BC{C}'{B}' \right)\text{//}\left( HKMN \right)$ và $\left( ABC \right)\text{//}\left( {A}'{B}'{C}' \right)$ $\Rightarrow \left( \widehat{\left( BC{C}'{B}' \right),\left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{\left( HKMN \right),\left( {A}'{B}'{C}' \right)} \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( {A}'{B}'{C}' \right)$ kẻ ${A}'J\bot {B}'{C}'$ ( $J\in {B}'{C}'$ ) , ${A}'J\cap MN=I$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& MN\bot AI \\
& MN\bot {A}'H \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow MN\bot \left( {A}'IH \right)\Rightarrow MN\bot HI$.
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( HKMN \right)\cap \left( {A}'{B}'{C}' \right)=MN \\
& MN\bot HI, MN\bot {A}'I \\
& HI\subset \left( HKMN \right), {A}'I\subset \left( {A}'{B}'{C}' \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow \left( \widehat{\left( HKMN \right),\left( {A}'{B}'{C}' \right)} \right)=\left( \widehat{HI,{A}'I} \right)=\widehat{{A}'IH} $ do $ \Delta {A}'IH $ vuông tại $ {A}'$.
Tam giác ${A}'{B}'{C}'$ có ${A}'I=\frac{1}{2}{A}'J=\frac{1}{2}.\frac{{A}'{B}'.{A}'{C}'}{{B}'{C}'}$ $=\frac{1}{2}.\frac{a.\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$.
Tam giác ${A}'IH$ có ${A}'H={A}'I.\tan 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{4}.\sqrt{3}=\frac{3a}{4}$.
Thể tích khối lăng trụ $V={A}'H.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{3a}{4}.\frac{{{a}^{2}}.\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
Vậy thể tích khối lăng trụ $\frac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
A. $\frac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$.
B. $\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
C. $\frac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
D. $\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{16}$.
Gọi $K, M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, {A}'{B}'$ và ${A}'{C}'$.
Dễ thấy $\left( BC{C}'{B}' \right)\text{//}\left( HKMN \right)$ và $\left( ABC \right)\text{//}\left( {A}'{B}'{C}' \right)$ $\Rightarrow \left( \widehat{\left( BC{C}'{B}' \right),\left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{\left( HKMN \right),\left( {A}'{B}'{C}' \right)} \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( {A}'{B}'{C}' \right)$ kẻ ${A}'J\bot {B}'{C}'$ ( $J\in {B}'{C}'$ ) , ${A}'J\cap MN=I$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& MN\bot AI \\
& MN\bot {A}'H \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow MN\bot \left( {A}'IH \right)\Rightarrow MN\bot HI$.
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( HKMN \right)\cap \left( {A}'{B}'{C}' \right)=MN \\
& MN\bot HI, MN\bot {A}'I \\
& HI\subset \left( HKMN \right), {A}'I\subset \left( {A}'{B}'{C}' \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow \left( \widehat{\left( HKMN \right),\left( {A}'{B}'{C}' \right)} \right)=\left( \widehat{HI,{A}'I} \right)=\widehat{{A}'IH} $ do $ \Delta {A}'IH $ vuông tại $ {A}'$.
Tam giác ${A}'{B}'{C}'$ có ${A}'I=\frac{1}{2}{A}'J=\frac{1}{2}.\frac{{A}'{B}'.{A}'{C}'}{{B}'{C}'}$ $=\frac{1}{2}.\frac{a.\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$.
Tam giác ${A}'IH$ có ${A}'H={A}'I.\tan 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{4}.\sqrt{3}=\frac{3a}{4}$.
Thể tích khối lăng trụ $V={A}'H.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{3a}{4}.\frac{{{a}^{2}}.\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
Vậy thể tích khối lăng trụ $\frac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}$.
Đáp án C.