Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $AB=3a,$ $AC=4a,$ $BC=5a,$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và ${B}'{C}'$ bằng $2a.$ Gọi $M,$ $N$ lần lượt là trung điểm của ${A}'{B}'$ và ${A}'{C}',$ (tham khảo hình vẽ dưới đây).
Thể tích $V$ của khối chóp $A.BCNM$ là
A. $V=7{{a}^{3}}.$
B. $V=8{{a}^{3}}.$
C. $V=6{{a}^{3}}.$
D. $V=4{{a}^{3}}.$
Thể tích $V$ của khối chóp $A.BCNM$ là
A. $V=7{{a}^{3}}.$
B. $V=8{{a}^{3}}.$
C. $V=6{{a}^{3}}.$
D. $V=4{{a}^{3}}.$
${{V}_{ABCNM}}={{V}_{A'MNABC}}-{{V}_{AA'MN}}$
$=\dfrac{1}{3}h.\left( {{S}_{A'MN}}+{{S}_{ABC}}+\sqrt{{{S}_{A'MN}}.{{S}_{ABC}}} \right)-\dfrac{1}{3}.h.{{S}_{\Delta A'MN}}$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{1}{2}.3a.4a=6{{a}^{2}} \\
& {{S}_{\Delta A'MN}}=\dfrac{1}{4}.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{4}.6{{a}^{2}}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{2} \\
& h={{h}_{langtru}}={{d}_{AB,B'C'}}=2a \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{V}_{ABCMN}}=\dfrac{1}{3}.2a.\left( 6{{a}^{2}}+\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}+\sqrt{6{{a}^{2}}.\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}} \right)-\dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}=6{{a}^{3}}$
$=\dfrac{1}{3}h.\left( {{S}_{A'MN}}+{{S}_{ABC}}+\sqrt{{{S}_{A'MN}}.{{S}_{ABC}}} \right)-\dfrac{1}{3}.h.{{S}_{\Delta A'MN}}$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{1}{2}.3a.4a=6{{a}^{2}} \\
& {{S}_{\Delta A'MN}}=\dfrac{1}{4}.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{4}.6{{a}^{2}}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{2} \\
& h={{h}_{langtru}}={{d}_{AB,B'C'}}=2a \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{V}_{ABCMN}}=\dfrac{1}{3}.2a.\left( 6{{a}^{2}}+\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}+\sqrt{6{{a}^{2}}.\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}} \right)-\dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}=6{{a}^{3}}$
Đáp án C.