Google
Câu hỏi: Cho khối hộp đứng $ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a,\angle ABC={{120}^{0}},$ đường thẳng $A{{C}_{1}}$ tạo với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ một góc ${{45}^{0}}.$ Tính thể tích khối hộp đã cho.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$
B. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$
B. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$
Phương pháp:
- Sử dụng: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳngđó, xác định $\angle \left( A{{C}_{1}};\left( ABCD \right) \right)$.
- Sử dụng định lí cosin trong tam giác tính $AC.$
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính $C{{C}_{1}}.$
- Tính ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \angle ABC\Rightarrow {{S}_{ABCD}}$.
- Tính thể tích ${{V}_{ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}}=C{{C}_{1}}.{{S}_{ABCD}}.$
Cách giải:
Ta có $\angle \left( A{{C}_{1}};\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( A{{C}_{1}};AC \right)=\angle {{C}_{1}}AC={{45}^{0}}\Rightarrow \Delta AC{{C}_{1}}$ vuông cân tại $C.$
Mà $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2.AB.BC.\cos \angle ABC}=a\sqrt{3}\Rightarrow C{{C}_{1}}=a\sqrt{3}.$
Ta có ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin \angle ABC=\dfrac{1}{2}.a.a.\sin {{120}^{0}}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=2{{S}_{ABC}}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}.$
Vậy ${{V}_{ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}}=C{{C}_{1}}.{{S}_{ABCD}}=a\sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}.$
- Sử dụng: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳngđó, xác định $\angle \left( A{{C}_{1}};\left( ABCD \right) \right)$.
- Sử dụng định lí cosin trong tam giác tính $AC.$
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính $C{{C}_{1}}.$
- Tính ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \angle ABC\Rightarrow {{S}_{ABCD}}$.
- Tính thể tích ${{V}_{ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}}=C{{C}_{1}}.{{S}_{ABCD}}.$
Cách giải:
Ta có $\angle \left( A{{C}_{1}};\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( A{{C}_{1}};AC \right)=\angle {{C}_{1}}AC={{45}^{0}}\Rightarrow \Delta AC{{C}_{1}}$ vuông cân tại $C.$
Mà $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2.AB.BC.\cos \angle ABC}=a\sqrt{3}\Rightarrow C{{C}_{1}}=a\sqrt{3}.$
Ta có ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin \angle ABC=\dfrac{1}{2}.a.a.\sin {{120}^{0}}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=2{{S}_{ABC}}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}.$
Vậy ${{V}_{ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}}=C{{C}_{1}}.{{S}_{ABCD}}=a\sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}.$
Đáp án B.