Google
Câu hỏi: Cho khối hộp chữ nhật ${A B C D \cdot A\prime B\prime C\prime D\prime }$ có đáy là hình vuông, ${B D=4 a}$, góc giữa hai mặt phẳng ${\left({A}\prime {BD}\right)}$ và ${({ABCD})}$ bằng ${30\circ}$. Thể tích của khối hộp chữ nhậtbằng
A. ${\dfrac{16 \sqrt{3}}{9} a^3}$
B. ${48 \sqrt{3} a^3}$
C. ${\dfrac{16 \sqrt{3}}{3} a^3}$
D. ${16 \sqrt{3} {a}^3}$
- Theo giả thiết ${{ABCD}}$ là hình vuông nên có ${2 {AB}^2={BD}^2 \Rightarrow {AB}=2 \sqrt{2} {a}}$.
Do đó ${{S}_{{ABCD}}={AB}^2=8 {a}^2}$
- Gọi ${{O}}$ là tâm của đáy ${{ABCD} \Rightarrow {OA} \perp {BD}}$ và ${{OA}=\dfrac{1}{2} {BD}=2 {a}}$.
${{A}\prime {A} \perp({ABCD}) \Rightarrow {A}\prime {A} \perp {BD} \Rightarrow {BD} \perp\left({A}\prime {AO}\right)}$. Do đó góc giữa ${\left({A}\prime {BD}\right)}$ và mặt phẳng
${({ABCD})}$ là góc ${\widehat{{A}\prime {OA}} \Rightarrow \widehat{{A}\prime {OA}}=30\circ}$
- Tam giác A\prime OA vuông tại ${A}$ có ${A\prime A=O A \tan \widehat{A\prime O A}=\dfrac{2 a \sqrt{3}}{3}}$.
Vậy ${{V}_{{ABCD} . {A}\prime {B}\prime {CD}\prime }=8 {a}^2 \cdot \dfrac{2 {a} \sqrt{3}}{3}=\dfrac{16 \sqrt{3}}{3} {a}^3}$
A. ${\dfrac{16 \sqrt{3}}{9} a^3}$
B. ${48 \sqrt{3} a^3}$
C. ${\dfrac{16 \sqrt{3}}{3} a^3}$
D. ${16 \sqrt{3} {a}^3}$
- Theo giả thiết ${{ABCD}}$ là hình vuông nên có ${2 {AB}^2={BD}^2 \Rightarrow {AB}=2 \sqrt{2} {a}}$.
Do đó ${{S}_{{ABCD}}={AB}^2=8 {a}^2}$
- Gọi ${{O}}$ là tâm của đáy ${{ABCD} \Rightarrow {OA} \perp {BD}}$ và ${{OA}=\dfrac{1}{2} {BD}=2 {a}}$.
${{A}\prime {A} \perp({ABCD}) \Rightarrow {A}\prime {A} \perp {BD} \Rightarrow {BD} \perp\left({A}\prime {AO}\right)}$. Do đó góc giữa ${\left({A}\prime {BD}\right)}$ và mặt phẳng
${({ABCD})}$ là góc ${\widehat{{A}\prime {OA}} \Rightarrow \widehat{{A}\prime {OA}}=30\circ}$
- Tam giác A\prime OA vuông tại ${A}$ có ${A\prime A=O A \tan \widehat{A\prime O A}=\dfrac{2 a \sqrt{3}}{3}}$.
Vậy ${{V}_{{ABCD} . {A}\prime {B}\prime {CD}\prime }=8 {a}^2 \cdot \dfrac{2 {a} \sqrt{3}}{3}=\dfrac{16 \sqrt{3}}{3} {a}^3}$
Đáp án C.