Google
Câu hỏi: Cho khối hộp chữ nhật ${A B C D \cdot A\prime B\prime C\prime D\prime }$ có đáy là hình vuông, ${B D=2 a}$, góc giữa hai mặt phẳng ${\left(A\prime B D\right)}$ và ${(A B C D)}$ bằng ${30\circ}$. Thể tích khối hộp chữ nhật đã cho bằng
A. ${6 \sqrt{3} a^3}$.
B. ${\dfrac{2 \sqrt{3}}{9} a^3}$
C. ${2 \sqrt{3} a^3}$
D. ${\dfrac{2 \sqrt{3}}{3} a^3}$.
Gọi ${O=A C \cap B D}$.
Diện tích hình vuông ${A B C D}$ là ${S_{A B C D}=A B^2=\left(\dfrac{B D}{\sqrt{2}}\right)^2=\left(\dfrac{2 a}{\sqrt{2}}\right)^2=2 a^2}$.
Ta có: ${\left(\left(A\prime B D\right),(A B C D)\right)=\left(A\prime O ; A O\right)=30\circ}$
Xét tam giác ${A\prime O A}$ vuông tại ${A}$, ta có: ${A\prime A=\tan 30\circ \cdot A O=\dfrac{\sqrt{3}}{3} a}$
Thể tích khối hộp chữ nhật đã cho là ${V=A\prime A \cdot S_{A B C D}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} a \cdot 2 a^2=\dfrac{2 \sqrt{3}}{3} a^3}$.
A. ${6 \sqrt{3} a^3}$.
B. ${\dfrac{2 \sqrt{3}}{9} a^3}$
C. ${2 \sqrt{3} a^3}$
D. ${\dfrac{2 \sqrt{3}}{3} a^3}$.
Gọi ${O=A C \cap B D}$.
Diện tích hình vuông ${A B C D}$ là ${S_{A B C D}=A B^2=\left(\dfrac{B D}{\sqrt{2}}\right)^2=\left(\dfrac{2 a}{\sqrt{2}}\right)^2=2 a^2}$.
Ta có: ${\left(\left(A\prime B D\right),(A B C D)\right)=\left(A\prime O ; A O\right)=30\circ}$
Xét tam giác ${A\prime O A}$ vuông tại ${A}$, ta có: ${A\prime A=\tan 30\circ \cdot A O=\dfrac{\sqrt{3}}{3} a}$
Thể tích khối hộp chữ nhật đã cho là ${V=A\prime A \cdot S_{A B C D}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} a \cdot 2 a^2=\dfrac{2 \sqrt{3}}{3} a^3}$.
Đáp án D.