Google
Câu hỏi: Cho khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có thể tích bằng $V.$ Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $AB,B'C',DD'.$ Gọi thể tích khối tứ diện $C'MNP$ là $V',$ khi đó tỉ số $\dfrac{V'}{V}$ bằng:
A. $\dfrac{1}{16}$
B. $\dfrac{3}{64}$
C. $\dfrac{3}{16}$
D. $\dfrac{1}{64}$
Gọi $E,F$ là trung điểm $CD,C'D';G$ là giao điểm của $C'P$ và $EF.$
Do $ME//C'N\Rightarrow ME//\left( C'NP \right)\Rightarrow d\left( M,\left( C'NP \right) \right)=d\left( E,\left( C'NP \right) \right)\Rightarrow {{V}_{MCNP}}={{V}_{EC'NP}}$
Ta có: $V'={{V}_{C'MNP}}={{V}_{EC'NP}}=3{{V}_{FC'NP}}$ (do $EG=3FG$ )
Mà $C'D=2C'F$ nên ${{V}_{FC'NP}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{D'C'NP}}$ suy ra $V'=\dfrac{3}{2}{{V}_{D'C'NP}}.$
Lại có:
${{V}_{D'C'NP}}=\dfrac{1}{3}.d\left( P,\left( C'D'N \right) \right).{{S}_{\Delta C'D'N}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}d\left( D,\left( C'D'N \right) \right).\dfrac{1}{4}{{S}_{A'B'C'D'}}$
$=\dfrac{1}{24}D\left( D,\left( A'B'C'D' \right) \right).{{S}_{A'B'C'D'}}=\dfrac{V}{24}$
Nên $V'=\dfrac{3}{2}{{V}_{D'C'NP}}=\dfrac{3}{2}.\dfrac{V}{24}=\dfrac{V}{16}\Leftrightarrow \dfrac{V'}{V}=\dfrac{1}{16}.$
A. $\dfrac{1}{16}$
B. $\dfrac{3}{64}$
C. $\dfrac{3}{16}$
D. $\dfrac{1}{64}$
Gọi $E,F$ là trung điểm $CD,C'D';G$ là giao điểm của $C'P$ và $EF.$
Do $ME//C'N\Rightarrow ME//\left( C'NP \right)\Rightarrow d\left( M,\left( C'NP \right) \right)=d\left( E,\left( C'NP \right) \right)\Rightarrow {{V}_{MCNP}}={{V}_{EC'NP}}$
Ta có: $V'={{V}_{C'MNP}}={{V}_{EC'NP}}=3{{V}_{FC'NP}}$ (do $EG=3FG$ )
Mà $C'D=2C'F$ nên ${{V}_{FC'NP}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{D'C'NP}}$ suy ra $V'=\dfrac{3}{2}{{V}_{D'C'NP}}.$
Lại có:
${{V}_{D'C'NP}}=\dfrac{1}{3}.d\left( P,\left( C'D'N \right) \right).{{S}_{\Delta C'D'N}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}d\left( D,\left( C'D'N \right) \right).\dfrac{1}{4}{{S}_{A'B'C'D'}}$
$=\dfrac{1}{24}D\left( D,\left( A'B'C'D' \right) \right).{{S}_{A'B'C'D'}}=\dfrac{V}{24}$
Nên $V'=\dfrac{3}{2}{{V}_{D'C'NP}}=\dfrac{3}{2}.\dfrac{V}{24}=\dfrac{V}{16}\Leftrightarrow \dfrac{V'}{V}=\dfrac{1}{16}.$
Đáp án A.