Google
Câu hỏi: Cho khối đa diện (minh họa như hình vẽ bên) trong đó $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là khối hộp chữ nhật với $AB=AD=2a$, $A{A}'=a$, $S.ABCD$ là khối chóp có các cạnh bên bằng nhau và $SA=a\sqrt{3}$. Thể tích khối tứ diện $S{A}'BD$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
B. $2{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
Giả sử $O=AC\cap BD$.
Do $\left\{ \begin{aligned}
& SA=SB=SC=SD \\
& OA=OB=OC=OD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right) $. Ta có $ {{V}_{S{{A}^{\prime }}BD}}={{V}_{A'.SBD}}$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& AA'//BB' \\
& BB'\subset \left( SBD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\left( A',\left( SBD \right) \right)=d\left( A,\left( SBD \right) \right)\Rightarrow {{V}_{A'.SBD}}={{V}_{A.SBD}}$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AO\bot SO \\
& AO\bot BD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AO\bot \left( SBD \right)$.
Tam giác $SOB$ vuông tại $O\Rightarrow SO=\sqrt{S{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}}=a$.
${{V}_{S.ABD}}={{V}_{A.SBD}}=\dfrac{1}{3}AO.k,\left( 1 \right)$.
Với $k$ là diện tích tam giác $SBD\Rightarrow k=\dfrac{1}{2}SO.BD=\dfrac{1}{2}a.2a\sqrt{2}=\sqrt{2}{{a}^{2}},\ \left( 2 \right)$. $AO=a\sqrt{2}\ \left( 3 \right)$.
Thay (2), (3) vào (1) ta được ${{V}_{S.{{A}^{\prime }}BD}}={{V}_{A'.SBD}}=\dfrac{1}{3}a\sqrt{2}.\sqrt{2}{{a}^{2}}=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
B. $2{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
Do $\left\{ \begin{aligned}
& SA=SB=SC=SD \\
& OA=OB=OC=OD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right) $. Ta có $ {{V}_{S{{A}^{\prime }}BD}}={{V}_{A'.SBD}}$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& AA'//BB' \\
& BB'\subset \left( SBD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\left( A',\left( SBD \right) \right)=d\left( A,\left( SBD \right) \right)\Rightarrow {{V}_{A'.SBD}}={{V}_{A.SBD}}$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AO\bot SO \\
& AO\bot BD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AO\bot \left( SBD \right)$.
Tam giác $SOB$ vuông tại $O\Rightarrow SO=\sqrt{S{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}}=a$.
${{V}_{S.ABD}}={{V}_{A.SBD}}=\dfrac{1}{3}AO.k,\left( 1 \right)$.
Với $k$ là diện tích tam giác $SBD\Rightarrow k=\dfrac{1}{2}SO.BD=\dfrac{1}{2}a.2a\sqrt{2}=\sqrt{2}{{a}^{2}},\ \left( 2 \right)$. $AO=a\sqrt{2}\ \left( 3 \right)$.
Thay (2), (3) vào (1) ta được ${{V}_{S.{{A}^{\prime }}BD}}={{V}_{A'.SBD}}=\dfrac{1}{3}a\sqrt{2}.\sqrt{2}{{a}^{2}}=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án C.