Google
Câu hỏi: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi ,M N lần lượt thuộc các cạnh $BC,CD$ sao cho MN luôn bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện SAMN .
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{12}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{12}$
C. $\dfrac{1+\sqrt{2}}{12}$
D. $\dfrac{4-\sqrt{2}}{24}$
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{12}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{12}$
C. $\dfrac{1+\sqrt{2}}{12}$
D. $\dfrac{4-\sqrt{2}}{24}$
Cách giải:
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot ABCD$
Do ABCD là hình vuông cạnh bằng 1 nên $AC=BD=\sqrt{2}$
$\Rightarrow OA=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOA ta có: $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$SO\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SO\bot \left( AMN \right).~$
${{V}_{S.AMN}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{AMN}}=\dfrac{\sqrt{2}}{6}.{{S}_{AMN}}$
Do đó . ${{V}_{S.AM{{N}_{\min }}}}\Leftrightarrow {{S}_{AMN}}\min $
Đặt $CM=x,CN=y\left( 0\le x,y1 \right)$ khi đó ta có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$ (Định lí Pytago trong tam giác vuông CMN ).
Ta có $\begin{aligned}
& {{S}_{ABM}}=\dfrac{1}{2}AB.AM=\dfrac{1}{2}\left( 1-x \right) \\
& {{S}_{ADN}}=\dfrac{1}{2}AD.DN=\dfrac{1}{2}\left( 1-y \right) \\
& {{S}_{CMN}}=\dfrac{1}{2}xy \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow {{S}_{AMN}}={{S}_{ABCD}}-\left( {{S}_{ABM}}+{{S}_{ADN}}+~{{S}_{CMN}}~ \right)$
$\begin{aligned}
& =1-\dfrac{1}{2}\left( 1-x+1-y+xy \right) \\
& =1-\dfrac{1}{2}\left( 2-x-y+xy \right) \\
& =\dfrac{1}{2}\left( x+y-xy \right) \\
\end{aligned}$
Ta có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\Leftrightarrow y=1-{{x}^{2}}.$ Khi đó ta có $S=\dfrac{1}{2}\left( x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}-x\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)=x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}-x\sqrt{1-{{x}^{2}}}$ với $x\in \left( 0;1 \right)$ ta có:
$\begin{aligned}
& y'=1-\dfrac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}-\sqrt{1-{{x}^{2}}}-x.\dfrac{-x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}} \\
& y'=\dfrac{\sqrt{1-{{x}^{2}}}-x\left( 1-{{x}^{2}} \right)+{{x}^{2}}}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}} \\
& y'=\dfrac{\sqrt{1-{{x}^{2}}}+2{{x}^{2}}-x-1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}} \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& y'=0\Leftrightarrow \sqrt{1-{{x}^{2}}}+2{{x}^{2}}-x-1=0 \\
& \Leftrightarrow \sqrt{\left( 1-x \right)\left( 1+x \right)}+\left( x-1 \right)\left( 2x+1 \right)=0 \\
& \Leftrightarrow \sqrt{1-x}\left[ \sqrt{1-x}-\sqrt{1-x}\left( 2x+1 \right) \right]=0 \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& \sqrt{1-x}-\sqrt{1-x}\left( 2x+1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& 1+x=\left( 1-x \right){{\left( 2x+1 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& 4{{x}^{3}}-2x=0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=0 \\
& x=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy $\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{min}} f\left( x \right)=f\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)=\dfrac{2\sqrt{2}-1}{4}$
Vậy $min{{V}_{S.AMN}}=\dfrac{\sqrt{2}}{6}.\dfrac{2\sqrt{2}-1}{4}=\dfrac{4-\sqrt{2}}{24}$
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot ABCD$
Do ABCD là hình vuông cạnh bằng 1 nên $AC=BD=\sqrt{2}$
$\Rightarrow OA=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOA ta có: $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$SO\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SO\bot \left( AMN \right).~$
${{V}_{S.AMN}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{AMN}}=\dfrac{\sqrt{2}}{6}.{{S}_{AMN}}$
Do đó . ${{V}_{S.AM{{N}_{\min }}}}\Leftrightarrow {{S}_{AMN}}\min $
Đặt $CM=x,CN=y\left( 0\le x,y1 \right)$ khi đó ta có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$ (Định lí Pytago trong tam giác vuông CMN ).
Ta có $\begin{aligned}
& {{S}_{ABM}}=\dfrac{1}{2}AB.AM=\dfrac{1}{2}\left( 1-x \right) \\
& {{S}_{ADN}}=\dfrac{1}{2}AD.DN=\dfrac{1}{2}\left( 1-y \right) \\
& {{S}_{CMN}}=\dfrac{1}{2}xy \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow {{S}_{AMN}}={{S}_{ABCD}}-\left( {{S}_{ABM}}+{{S}_{ADN}}+~{{S}_{CMN}}~ \right)$
$\begin{aligned}
& =1-\dfrac{1}{2}\left( 1-x+1-y+xy \right) \\
& =1-\dfrac{1}{2}\left( 2-x-y+xy \right) \\
& =\dfrac{1}{2}\left( x+y-xy \right) \\
\end{aligned}$
Ta có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\Leftrightarrow y=1-{{x}^{2}}.$ Khi đó ta có $S=\dfrac{1}{2}\left( x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}-x\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)=x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}-x\sqrt{1-{{x}^{2}}}$ với $x\in \left( 0;1 \right)$ ta có:
$\begin{aligned}
& y'=1-\dfrac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}-\sqrt{1-{{x}^{2}}}-x.\dfrac{-x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}} \\
& y'=\dfrac{\sqrt{1-{{x}^{2}}}-x\left( 1-{{x}^{2}} \right)+{{x}^{2}}}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}} \\
& y'=\dfrac{\sqrt{1-{{x}^{2}}}+2{{x}^{2}}-x-1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}} \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& y'=0\Leftrightarrow \sqrt{1-{{x}^{2}}}+2{{x}^{2}}-x-1=0 \\
& \Leftrightarrow \sqrt{\left( 1-x \right)\left( 1+x \right)}+\left( x-1 \right)\left( 2x+1 \right)=0 \\
& \Leftrightarrow \sqrt{1-x}\left[ \sqrt{1-x}-\sqrt{1-x}\left( 2x+1 \right) \right]=0 \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& \sqrt{1-x}-\sqrt{1-x}\left( 2x+1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& 1+x=\left( 1-x \right){{\left( 2x+1 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& 4{{x}^{3}}-2x=0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=0 \\
& x=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy $\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{min}} f\left( x \right)=f\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)=\dfrac{2\sqrt{2}-1}{4}$
Vậy $min{{V}_{S.AMN}}=\dfrac{\sqrt{2}}{6}.\dfrac{2\sqrt{2}-1}{4}=\dfrac{4-\sqrt{2}}{24}$
Đáp án D.