Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $AC=4a,$ hai mặt phẳng...

Hình vuông $ABCD$ có đường chéo $AC=4a\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AB=2a\sqrt{2} \\
& OC=2a \\
\end{aligned} \right..$
Dễ dàng chứng minh được $AC\bot SB.$
Dựng $CE\bot SB \Rightarrow SB\bot AE.$
Ta có $\left( \left( SAB \right),\left( SBC \right) \right)=\left( AE,CE \right)={{60}^{0}}\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& \widehat{AEC}={{60}^{0}} \\
& \widehat{AEC}={{120}^{0}} \\
\end{aligned} \right..$
+) Xét $\widehat{AEC}={{60}^{0}}\Rightarrow \Delta AEC$ đều cạnh $4a\Rightarrow $ đường cao $OE=2a\sqrt{2}.$
Xét $\Delta SOB$ vuông tại $O$ có đường cao $OE=2a\sqrt{2}, OB=2a,$ áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta được:
$\dfrac{1}{O{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{8{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{S{{O}^{2}}}=-\dfrac{1}{8{{a}^{2}}}$ (vô lí)
+) Vậy $\widehat{AEC}={{120}^{0}}.$
Xét $\Delta AOE$ vuông tại $E$ có $\widehat{AEO}={{60}^{0}}, AO=2a \Rightarrow OE=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.$
Xét $\Delta SOB$ vuông tại $O$ có đường cao $OE=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}, OB=2a: $ áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta được: $\dfrac{1}{O{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{S{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}\Leftrightarrow SO=a\sqrt{2}.$
${{V}_{chop}}=\dfrac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{2}.{{\left( 2a\sqrt{2} \right)}^{2}}=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}{{a}^{3}}.$