Cho khối chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có $A B = a .$ Thể tích khối chóp $S . A B C D$ bằng $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .$ Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng...

The Collectors · 31/5/21

Câu hỏi: Cho khối chóp tứ giác đều

S . A B C D

có

A B = a .

Thể tích khối chóp

S . A B C D

bằng

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .

Khoảng cách từ

C

đến mặt phẳng

(S A B)

bằng
A.

\frac{a \sqrt{2}}{3} .

B.

\frac{a}{3} .

C.

\frac{a \sqrt{2}}{2} .

D.

\frac{2 a \sqrt{2}}{3} .

Gọi

O

là tâm hình vuông

A B C D

.
Do

S . A B C D

là khối chóp tứ giác đều

\Rightarrow S O ⊥ (A B C D) .

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S O . S_{A B C D} \Rightarrow \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} = \frac{1}{3} . S O . a^{2} \Rightarrow S O = a \sqrt{2}

.
Ta có:

d (C; (S A B)) = 2. d (O; (S A B)) .

Gọi

K

là trung điểm

A B, H

là hình chiếu của

O

lên

S K .

Ta có

\begin{aligned} O K ⊥ A B \\ S O ⊥ A B \end{aligned}} \Rightarrow (S O K) ⊥ A B \Rightarrow O H ⊥ A B .

\begin{aligned} O H ⊥ S K \\ O H ⊥ A B \end{aligned}} \Rightarrow O H ⊥ (S A B) \Rightarrow d (O; (S A B)) = O H .

Xét tam giác

S O K

vuông tại

O

có

O H

là đường cao.

\Rightarrow \frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O K^{2}} + \frac{1}{S O^{2}} = \frac{1}{{(\frac{a}{2})}^{2}} + \frac{1}{{(a \sqrt{2})}^{2}} = \frac{9}{2 a^{2}} \Rightarrow O H = \frac{a \sqrt{2}}{3} .

\Rightarrow d (C; (S A B)) = 2. d (O; (S A B)) = \frac{2 a \sqrt{2}}{3} .

Đáp án D.

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có AB=a. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng a323. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng...