Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $AB=a.$ Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$ Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng...

Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$.
Do $S.ABCD$ là khối chóp tứ giác đều $\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right).$
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}\Rightarrow \dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}=\dfrac{1}{3}.SO.{{a}^{2}}\Rightarrow SO=a\sqrt{2}$.
Ta có: $d\left( C;\left( SAB \right) \right)=2.d\left( O;\left( SAB \right) \right).$
Gọi $K$ là trung điểm $AB,H$ là hình chiếu của $O$ lên $SK.$
Ta có $\left. \begin{aligned}
& OK\bot AB \\
& SO\bot AB \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow \left( SOK \right)\bot AB\Rightarrow OH\bot AB.$
$\left. \begin{aligned}
& OH\bot SK \\
& OH\bot AB \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow OH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow d\left( O;\left( SAB \right) \right)=OH.$
Xét tam giác $SOK$ vuông tại $O$ có $OH$ là đường cao.
$\Rightarrow \dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{9}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow OH=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.$
$\Rightarrow d\left( C;\left( SAB \right) \right)=2.d\left( O;\left( SAB \right) \right)=\dfrac{2a\sqrt{2}}{3}.$