Google
Câu hỏi: Cho khối chóp tam giác đều ${S . A B C}$ có cạnh đáy bằng $2$. Gọi ${M}$, ${N}$ lần lượt là trung điểm của ${S B}$ và ${S C}$. Biết ${C M \perp B N}$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng:
A. ${\dfrac{\sqrt{26}}{6}}$.
B. ${\dfrac{\sqrt{26}}{8}}$.
C. ${\dfrac{\sqrt{26}}{3}}$.
D. ${\dfrac{\sqrt{26}}{12}}$.
Gọi ${I}$ là giao của ${CM}$ và ${BN}$. Điểm ${H}$ là trung điểm của ${BC}$.
Suy ra ${I}$ là trọng tâm của tam giác ${SBC}$ và ${SH=3IH}$.
Ta có ${S . A B C}$ là khối chóp tam giác đều có ${M}$, ${N}$ lần lượt là trung điểm của ${S B}$ và ${S C}$ nên tam giác ${SBC}$ cân tại ${S}$.
Suy ra tam giác ${IBC}$ cân tại ${I}$ mà ${C M \perp B N}$ nên tam giác ${IBC}$ vuông cân tại ${I}$ $\Rightarrow IH=\dfrac{1}{2}BC=1$ $\Rightarrow SH=3IH=3$.
Tam giác ${ABC}$ đều cạnh ${2}$ nên $AH=\sqrt{3}$ $\Rightarrow GH=\dfrac{1}{3}AH=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Do đó $SG=\sqrt{S{{H}^{2}}-G{{H}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}-{{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{78}}{3}$.
Mà ${{S}_{ABC}}=\dfrac{A{{B}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$. Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SG.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{78}}{3}.\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{26}}{3}$.
A. ${\dfrac{\sqrt{26}}{6}}$.
B. ${\dfrac{\sqrt{26}}{8}}$.
C. ${\dfrac{\sqrt{26}}{3}}$.
D. ${\dfrac{\sqrt{26}}{12}}$.
Suy ra ${I}$ là trọng tâm của tam giác ${SBC}$ và ${SH=3IH}$.
Ta có ${S . A B C}$ là khối chóp tam giác đều có ${M}$, ${N}$ lần lượt là trung điểm của ${S B}$ và ${S C}$ nên tam giác ${SBC}$ cân tại ${S}$.
Suy ra tam giác ${IBC}$ cân tại ${I}$ mà ${C M \perp B N}$ nên tam giác ${IBC}$ vuông cân tại ${I}$ $\Rightarrow IH=\dfrac{1}{2}BC=1$ $\Rightarrow SH=3IH=3$.
Tam giác ${ABC}$ đều cạnh ${2}$ nên $AH=\sqrt{3}$ $\Rightarrow GH=\dfrac{1}{3}AH=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Do đó $SG=\sqrt{S{{H}^{2}}-G{{H}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}-{{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{78}}{3}$.
Mà ${{S}_{ABC}}=\dfrac{A{{B}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$. Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SG.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{78}}{3}.\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{26}}{3}$.
Đáp án C.