Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng $a$, góc $ABC$ bằng $120{}^\circ $, mặt phẳng $\left( SAB \right)$ vuông góc với đáy, $SA=SB$, góc giữa $SC$ và đáy bằng $45{}^\circ $. Thể tích $V$ của khối chóp đã cho là
A. $V=\dfrac{\sqrt{21}{{a}^{3}}}{4}$.
B. $V=\dfrac{\sqrt{21}{{a}^{3}}}{12}$.
C. $V=\dfrac{\sqrt{21}{{a}^{3}}}{24}$.
D. $V=\dfrac{\sqrt{7}{{a}^{3}}}{6}$.
Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $AB$ $\Rightarrow SH\bot AB\Rightarrow SH\bot (ABCD)$.
$\widehat{ABC}=120{}^\circ \Rightarrow \widehat{BAD}=60{}^\circ \Rightarrow \Delta ABD$ đều $\Rightarrow BD=a$.
Trong tam giác $CBH$ ta có
$H{{C}^{2}}=B{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}-2BH.BC.\cos \widehat{HBC}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}-2.\dfrac{a}{2}.a.\left( \dfrac{-1}{2} \right)=\dfrac{7{{a}^{2}}}{4}$ $\Rightarrow CH=\dfrac{\sqrt{7}a}{2}$.
Mà $\Delta SHC$ vuôngtại $H$, $\widehat{SCH}=45{}^\circ \Rightarrow HC=SH=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}$.
${{S}_{ABCD}}=2{{S}_{ABD}}=2.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{7}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{21}{{a}^{3}}}{12}$.
A. $V=\dfrac{\sqrt{21}{{a}^{3}}}{4}$.
B. $V=\dfrac{\sqrt{21}{{a}^{3}}}{12}$.
C. $V=\dfrac{\sqrt{21}{{a}^{3}}}{24}$.
D. $V=\dfrac{\sqrt{7}{{a}^{3}}}{6}$.
Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $AB$ $\Rightarrow SH\bot AB\Rightarrow SH\bot (ABCD)$.
$\widehat{ABC}=120{}^\circ \Rightarrow \widehat{BAD}=60{}^\circ \Rightarrow \Delta ABD$ đều $\Rightarrow BD=a$.
Trong tam giác $CBH$ ta có
$H{{C}^{2}}=B{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}-2BH.BC.\cos \widehat{HBC}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}-2.\dfrac{a}{2}.a.\left( \dfrac{-1}{2} \right)=\dfrac{7{{a}^{2}}}{4}$ $\Rightarrow CH=\dfrac{\sqrt{7}a}{2}$.
Mà $\Delta SHC$ vuôngtại $H$, $\widehat{SCH}=45{}^\circ \Rightarrow HC=SH=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}$.
${{S}_{ABCD}}=2{{S}_{ABD}}=2.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{7}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{21}{{a}^{3}}}{12}$.
Đáp án B.