Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có diện tích bằng $3\sqrt{2}{{a}^{2}}$, $M$ là trung điểm của $BC$, $AM$ vuông góc với $BD$ tại $H$, $SH$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$, khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $\left( SAC \right)$ bằng $a$. Thể tích $V$ của khối chóp đã cho là
A. $V=3{{a}^{3}}$.
B. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
C. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$.
D. $V=2{{a}^{3}}$.
+ Ta thấy $H=AM\cap BO$ nên $H$ là trọng tâm của $\Delta ABC$.
Do đó $d\left( H;\left( SAC \right) \right)=\dfrac{1}{3}d\left( D;\left( SAC \right) \right)=\dfrac{a}{3}$.
Trong $\Delta ABC$ kẻ $HN\bot AC$ và kẻ $HK\bot SN$ thì $HK\bot \left( SAC \right)$ nên $d\left( H;\left( SAC \right) \right)=HK=\dfrac{a}{3}$.
+ Có $\overrightarrow{BO}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA} \right)$ và $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{BA} \right)$.
$\Delta ABC$ có hai đường trung tuyến $AM\bot BO$ nên $\overrightarrow{BO}.\overrightarrow{AM}=0\Rightarrow BC=\sqrt{2}BA$.
Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ bằng $3\sqrt{2}{{a}^{2}}\Rightarrow AB=a\sqrt{3}$, $BC=a\sqrt{6}$ và $AC=3a$.
$OH=\dfrac{1}{3}OB=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.3a=\dfrac{a}{2}$ và $BH=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}.3a=a$.
Trong $\Delta ABH$ vuông tại $H$ có $A{{H}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}=3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}=2{{a}^{2}}\Rightarrow AH=a\sqrt{2}$.
Trong $\Delta AOH$ vuông tại $H$ có $\dfrac{1}{H{{N}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{{{a}^{2}}}=\dfrac{9}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow HN=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
Trong $\Delta SHN$ vuông tại $H$ có $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{N}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{9}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{9}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow SH=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
Vậy thể tích $V=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.3\sqrt{2}{{a}^{2}}=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
A. $V=3{{a}^{3}}$.
B. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
C. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$.
D. $V=2{{a}^{3}}$.
+ Ta thấy $H=AM\cap BO$ nên $H$ là trọng tâm của $\Delta ABC$.
Do đó $d\left( H;\left( SAC \right) \right)=\dfrac{1}{3}d\left( D;\left( SAC \right) \right)=\dfrac{a}{3}$.
Trong $\Delta ABC$ kẻ $HN\bot AC$ và kẻ $HK\bot SN$ thì $HK\bot \left( SAC \right)$ nên $d\left( H;\left( SAC \right) \right)=HK=\dfrac{a}{3}$.
+ Có $\overrightarrow{BO}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA} \right)$ và $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{BA} \right)$.
$\Delta ABC$ có hai đường trung tuyến $AM\bot BO$ nên $\overrightarrow{BO}.\overrightarrow{AM}=0\Rightarrow BC=\sqrt{2}BA$.
Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ bằng $3\sqrt{2}{{a}^{2}}\Rightarrow AB=a\sqrt{3}$, $BC=a\sqrt{6}$ và $AC=3a$.
$OH=\dfrac{1}{3}OB=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.3a=\dfrac{a}{2}$ và $BH=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}.3a=a$.
Trong $\Delta ABH$ vuông tại $H$ có $A{{H}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}=3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}=2{{a}^{2}}\Rightarrow AH=a\sqrt{2}$.
Trong $\Delta AOH$ vuông tại $H$ có $\dfrac{1}{H{{N}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{{{a}^{2}}}=\dfrac{9}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow HN=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
Trong $\Delta SHN$ vuông tại $H$ có $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{N}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{9}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{9}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow SH=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
Vậy thể tích $V=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.3\sqrt{2}{{a}^{2}}=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án B.