Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$ có $SA\bot \left( ABCD \right)$, đáy $ABCD$ là hình thang, $AB//CD,$ $SA=AD=DC=a,BC=a\sqrt{7}$. Tam giác $SBC$ vuông tại $C$, tam giác $SCD$ vuông tại $D$. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. $2{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{4}{3}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{2}{3}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{1}{2}{{a}^{3}}$.
Ta có: $\left. \begin{aligned}
& CD\bot SA \\
& CD\bot SD \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot AD\subset \left( SAD \right)$
Suy ra, tam giác $ACD$ vuông tại $D\Rightarrow AC=\sqrt{A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$
$\left. \begin{aligned}
& BC\bot SA \\
& BC\bot SC \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BC\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BC\bot AC\subset \left( SAC \right)$
Suy ra, tam giác $ABC$ vuông tại $C\Rightarrow AB=\sqrt{A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}+7{{a}^{2}}}=3a$
Ta có: ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{\left( CD+AB \right).AD}{2}=\dfrac{\left( a+3a \right).a}{2}=2{{a}^{2}}$.
Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a.2{{a}^{2}}=\dfrac{2}{3}{{a}^{3}}$.
A. $2{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{4}{3}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{2}{3}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{1}{2}{{a}^{3}}$.
& CD\bot SA \\
& CD\bot SD \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot AD\subset \left( SAD \right)$
Suy ra, tam giác $ACD$ vuông tại $D\Rightarrow AC=\sqrt{A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$
$\left. \begin{aligned}
& BC\bot SA \\
& BC\bot SC \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BC\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BC\bot AC\subset \left( SAC \right)$
Suy ra, tam giác $ABC$ vuông tại $C\Rightarrow AB=\sqrt{A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}+7{{a}^{2}}}=3a$
Ta có: ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{\left( CD+AB \right).AD}{2}=\dfrac{\left( a+3a \right).a}{2}=2{{a}^{2}}$.
Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a.2{{a}^{2}}=\dfrac{2}{3}{{a}^{3}}$.
Đáp án C.