Google
Câu hỏi: Cho khối chóp ${S.ABCD}$ có đáy là hình vuông cạnh ${\sqrt{2}a}$, tam giác ${SAC}$ vuông tại ${S}$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên ${SA}$ tạo với đáy một góc ${60{}^\circ }$. Thể tích của khối chóp ${S.ABCD}$ là:
A. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}}$.
B. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}}$.
C. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}}$.
D. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}}$.
A. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}}$.
B. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}}$.
C. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}}$.
D. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}}$.
Theo giả thiết mặt phẳng $\left( SAC \right)\bot \left( ABCD \right)$ nên từ S kẻ $SH\bot AC\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$ hay SH là đường cao của khối chóp S.ABCD.
Mặt khác $\left( SA,\left( ABCD \right) \right)=\left( SA,AC \right)=\widehat{SAC}={{60}^{0}}.$
Trong tam giác vuông SAC đặt $SH=x\Rightarrow AH=\dfrac{x}{\sqrt{3}}.$
Theo giả thiết ABCD là hình vuông cạnh $a\sqrt{2}n\hat{e}nAC=2a\Rightarrow HC=2a-\dfrac{x}{\sqrt{3}}.$
Do tam giác SAC vuông tại S và $SH\bot AC$ nên
$S{{H}^{2}}=HA.HC\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{x}{\sqrt{3}}\left( 2a-\dfrac{x}{\sqrt{3}} \right)\Rightarrow x=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ hay $SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Thể tích khối chóp S.ABCD là ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SH=\dfrac{1}{3}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
Mặt khác $\left( SA,\left( ABCD \right) \right)=\left( SA,AC \right)=\widehat{SAC}={{60}^{0}}.$
Trong tam giác vuông SAC đặt $SH=x\Rightarrow AH=\dfrac{x}{\sqrt{3}}.$
Theo giả thiết ABCD là hình vuông cạnh $a\sqrt{2}n\hat{e}nAC=2a\Rightarrow HC=2a-\dfrac{x}{\sqrt{3}}.$
Do tam giác SAC vuông tại S và $SH\bot AC$ nên
$S{{H}^{2}}=HA.HC\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{x}{\sqrt{3}}\left( 2a-\dfrac{x}{\sqrt{3}} \right)\Rightarrow x=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ hay $SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Thể tích khối chóp S.ABCD là ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SH=\dfrac{1}{3}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
Đáp án C.