Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a\sqrt{2}$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $E$ là trung điểm của $BC$, biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $DE$ và $SC$ là $\dfrac{2a}{\sqrt{19}}$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng
A. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{9}$.
C. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{9}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
Gọi $O=AC\cap DE$, $I=AB\cap DE$ ; kẻ $OH\text{//}SC \left( H\in SA \right)$ $\Rightarrow SC\text{//}\left( IDH \right)$ $\Rightarrow d\left( SC, DE \right)=d\left( SC, \left( IDH \right) \right)=d\left( C, \left( IDH \right) \right)=\dfrac{CO}{AO}d\left( A, \left( IDH \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A, \left( IDH \right) \right)=\dfrac{2a}{\sqrt{19}}$ $\Rightarrow d\left( A, \left( IDH \right) \right)=\dfrac{4a}{\sqrt{19}}$.
Tứ diện $AIDH$ vuông tại $A$ có $AD=a\sqrt{2}$, $AI=2AB=2a\sqrt{2}$.
Suy ra: $\dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( A, \left( IDH \right) \right)}=\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{8{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{19}{16{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow AH=\dfrac{4a}{3}$.
Ta có: $SA=\dfrac{3}{2}AH=2a$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{9}$.
C. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{9}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
Tứ diện $AIDH$ vuông tại $A$ có $AD=a\sqrt{2}$, $AI=2AB=2a\sqrt{2}$.
Suy ra: $\dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( A, \left( IDH \right) \right)}=\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{8{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{19}{16{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow AH=\dfrac{4a}{3}$.
Ta có: $SA=\dfrac{3}{2}AH=2a$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án A.