Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$, có đáy là hình chữ nhật cạnh $AB=2a\sqrt{5}$ và tất cả các cạnh bên của hình chóp bằng $5a$. Thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho bằng
A. $\dfrac{20{{a}^{3}}\sqrt{5}}{3}$.
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{40\sqrt{5}{{a}^{3}}}{3}$.
D. $15\sqrt{5}{{a}^{3}}$.
Ta gọi độ dài cạnh $BC=x$, $x>0$.
Ta có: $BO=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+20{{a}^{2}}}}{2}$ ; $SO=\dfrac{\sqrt{80{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{2}$ ; ${{S}_{ABCD}}=2a.x\sqrt{5}$ ;
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SO$ $\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.2a.x\sqrt{5}.\dfrac{\sqrt{80{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{2}=\dfrac{2ax\sqrt{5}.\sqrt{80{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{6}=\dfrac{2a\sqrt{5}\sqrt{{{x}^{2}}\left( 80{{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}}{6}$ (1).
Ta có: ${{x}^{2}}+\left( 80{{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\ge 2\sqrt{{{x}^{2}}\left( 80{{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}\Rightarrow 40{{a}^{2}}\ge \sqrt{{{x}^{2}}\left( 80{{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}$ (2).
Thế (2) vào (1), suy ra ${{V}_{S.ABCD}}\le \dfrac{2a\sqrt{5}.40{{a}^{2}}}{6}=\dfrac{40\sqrt{5}{{a}^{3}}}{3}$.
A. $\dfrac{20{{a}^{3}}\sqrt{5}}{3}$.
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{40\sqrt{5}{{a}^{3}}}{3}$.
D. $15\sqrt{5}{{a}^{3}}$.
Ta có: $BO=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+20{{a}^{2}}}}{2}$ ; $SO=\dfrac{\sqrt{80{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{2}$ ; ${{S}_{ABCD}}=2a.x\sqrt{5}$ ;
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SO$ $\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.2a.x\sqrt{5}.\dfrac{\sqrt{80{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{2}=\dfrac{2ax\sqrt{5}.\sqrt{80{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{6}=\dfrac{2a\sqrt{5}\sqrt{{{x}^{2}}\left( 80{{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}}{6}$ (1).
Ta có: ${{x}^{2}}+\left( 80{{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\ge 2\sqrt{{{x}^{2}}\left( 80{{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}\Rightarrow 40{{a}^{2}}\ge \sqrt{{{x}^{2}}\left( 80{{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}$ (2).
Thế (2) vào (1), suy ra ${{V}_{S.ABCD}}\le \dfrac{2a\sqrt{5}.40{{a}^{2}}}{6}=\dfrac{40\sqrt{5}{{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án C.