Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. $M$ là trung điểm của $SC.$ Mặt phẳng qua $AM$ và song song với $BD$ chia khối chóp thành hai phần, trong đó phần chứa đỉnh $S$ có thể tích ${{V}_{1}}$, phần còn lại có thể tích ${{V}_{2}}$ (tham khảo hình vẽ bên). Tính tỉ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}.$
A. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{3}.$
B. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=1.$
C. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{2}{7}.$
D. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{2}.$
Gọi $O=AC\cap BD,G=SO\cap AM$ nên $G$ là trọng tâm của $\Delta SAC$ suy ra $\dfrac{SG}{SO}=\dfrac{2}{3}.$
Mặt phẳng qua $AM$ và song song với $BD$ cắt mặt phẳng $\left( SBD \right)$ theo giao tuyến là đường thẳng đi qua $G$ song song với $BD$ và cắt $SB,SD$ lần lượt tại $B',D'.$
Ta có $\dfrac{SB'}{SB}=\dfrac{SD'}{SD}=\dfrac{SG}{SO}=\dfrac{2}{3}.$
$\dfrac{{{V}_{S.AB'M}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SB'}{SB}.\dfrac{SM}{SC}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{V}_{SAB'M}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{SABCD}}.$
Tương tự $\dfrac{{{V}_{SAD'M}}}{{{V}_{SADC}}}=\dfrac{SD'}{SD}.\dfrac{SM}{SC}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{V}_{SAD'M}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{SABCD}}$
${{V}_{1}}={{V}_{SAB'M}}+{{V}_{SAD'M}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{SABCD}}\Rightarrow {{V}_{2}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{SABCD}}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{2}$
A. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{3}.$
B. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=1.$
C. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{2}{7}.$
D. $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{2}.$
Gọi $O=AC\cap BD,G=SO\cap AM$ nên $G$ là trọng tâm của $\Delta SAC$ suy ra $\dfrac{SG}{SO}=\dfrac{2}{3}.$
Mặt phẳng qua $AM$ và song song với $BD$ cắt mặt phẳng $\left( SBD \right)$ theo giao tuyến là đường thẳng đi qua $G$ song song với $BD$ và cắt $SB,SD$ lần lượt tại $B',D'.$
Ta có $\dfrac{SB'}{SB}=\dfrac{SD'}{SD}=\dfrac{SG}{SO}=\dfrac{2}{3}.$
$\dfrac{{{V}_{S.AB'M}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SB'}{SB}.\dfrac{SM}{SC}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{V}_{SAB'M}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{SABCD}}.$
Tương tự $\dfrac{{{V}_{SAD'M}}}{{{V}_{SADC}}}=\dfrac{SD'}{SD}.\dfrac{SM}{SC}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{V}_{SAD'M}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{SABCD}}$
${{V}_{1}}={{V}_{SAB'M}}+{{V}_{SAD'M}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{SABCD}}\Rightarrow {{V}_{2}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{SABCD}}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{2}$
Đáp án D.