Cho khối chóp $S . A B C D$ có đáy là hình bình hành. $M$ là trung điểm của $S C .$ Mặt phẳng qua $A M$ và song song với $B D$ chia khối chóp thành hai...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Cho khối chóp

S . A B C D

có đáy là hình bình hành.

M

là trung điểm của

S C .

Mặt phẳng qua

A M

và song song với

B D

chia khối chóp thành hai phần, trong đó phần chứa đỉnh

S

có thể tích

V_{1}

, phần còn lại có thể tích

V_{2}

(tham khảo hình vẽ bên). Tính tỉ số

\frac{V_{1}}{V_{2}} .

A.

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{3} .

B.

\frac{V_{1}}{V_{2}} = 1.

C.

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{2}{7} .

D.

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{2} .

Gọi

O = A C \cap B D, G = S O \cap A M

nên

G

là trọng tâm của

Δ S A C

suy ra

\frac{S G}{S O} = \frac{2}{3} .

Mặt phẳng qua

A M

và song song với

B D

cắt mặt phẳng

(S B D)

theo giao tuyến là đường thẳng đi qua

G

song song với

B D

và cắt

S B, S D

lần lượt tại

B^{'}, D^{'} .

Ta có

\frac{S B^{'}}{S B} = \frac{S D^{'}}{S D} = \frac{S G}{S O} = \frac{2}{3} .

\frac{V_{S . A B^{'} M}}{V_{S . A B C}} = \frac{S B^{'}}{S B} . \frac{S M}{S C} = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow V_{S A B^{'} M} = \frac{1}{6} V_{S A B C D} .

Tương tự

\frac{V_{S A D^{'} M}}{V_{S A D C}} = \frac{S D^{'}}{S D} . \frac{S M}{S C} = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow V_{S A D^{'} M} = \frac{1}{6} V_{S A B C D}

V_{1} = V_{S A B^{'} M} + V_{S A D^{'} M} = \frac{1}{3} V_{S A B C D} \Rightarrow V_{2} = \frac{2}{3} V_{S A B C D} \Rightarrow \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{2}

Đáp án D.

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AM và song song với BD chia khối chóp thành hai...