Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB,SD$. Biết góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ và $\left( AHK \right)$ bằng ${{30}^{0}}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$.
Ta có: $BC\bot AB$ và $BC\bot SA$ suy ra $BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AH$. Mặt khác $AH\bot SB$ suy ra $AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow SC\bot AH.$
Chứng minh tương tự ta cũng có $AK\bot \left( SCD \right)\Rightarrow SC\bot AK.$
Vậy $SC\bot \left( AHK \right).$
Mà $SA\bot \left( ABCD \right)$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ và $\left( AHK \right)$ là góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $SC$ (theo định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng) và bằng $\widehat{ASC}$. Vậy $\widehat{ASC}={{30}^{0}}.$
Xét tam giác $SAC$ có $\cos \widehat{ASC}=\dfrac{SA}{SC}=\dfrac{SA}{\sqrt{S{{A}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SA=a\sqrt{6}$.
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{6}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$.
Ta có: $BC\bot AB$ và $BC\bot SA$ suy ra $BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AH$. Mặt khác $AH\bot SB$ suy ra $AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow SC\bot AH.$
Chứng minh tương tự ta cũng có $AK\bot \left( SCD \right)\Rightarrow SC\bot AK.$
Vậy $SC\bot \left( AHK \right).$
Mà $SA\bot \left( ABCD \right)$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ và $\left( AHK \right)$ là góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $SC$ (theo định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng) và bằng $\widehat{ASC}$. Vậy $\widehat{ASC}={{30}^{0}}.$
Xét tam giác $SAC$ có $\cos \widehat{ASC}=\dfrac{SA}{SC}=\dfrac{SA}{\sqrt{S{{A}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SA=a\sqrt{6}$.
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{6}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
Đáp án A.