Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S. ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$. Hai mặt phẳng $\left(SAB \right)$ và $\left(SAD \right)$ cùng vuông góc với đáy. Biết $AD=2BC=2a$ và $BD=a\sqrt{5}.$ Tính thể tích khối chóp $S. ABCD$ biết rằng góc giữa $SB$ và $\left(ABCD \right)$ bằng ${{30}^{0}}$ ?
A. ${{V}_{S. ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$
B. ${{V}_{S. ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
C. ${{V}_{S. ABCD}}=\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{21}}{9}$.
D. ${{V}_{S. ABCD}}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{21}}{3}$.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& \left(SAB \right)\bot \left(ABCD \right) \\
& \left(SAD \right)\bot \left(ABCD \right) \\
& \left(SAB \right)\cap \left(SAD \right)=SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SA\bot \left(ABCD \right)$
Ta có: $AB=\sqrt{B{{D}^{2}}-A{{D}^{2}}}=\sqrt{{{\left(a\sqrt{5} \right)}^{2}}-{{\left(2a \right)}^{2}}}=a$
$SA=AB\tan {{30}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
${{S}_{ABCD}}=\dfrac{\left(AD+BC \right). AB}{2}=\dfrac{\left(2a+a \right). A}{2}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}$
Thể tích khối chóp $S. ABCD$ là:
$V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
A. ${{V}_{S. ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$
B. ${{V}_{S. ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
C. ${{V}_{S. ABCD}}=\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{21}}{9}$.
D. ${{V}_{S. ABCD}}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{21}}{3}$.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& \left(SAB \right)\bot \left(ABCD \right) \\
& \left(SAD \right)\bot \left(ABCD \right) \\
& \left(SAB \right)\cap \left(SAD \right)=SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SA\bot \left(ABCD \right)$
Ta có: $AB=\sqrt{B{{D}^{2}}-A{{D}^{2}}}=\sqrt{{{\left(a\sqrt{5} \right)}^{2}}-{{\left(2a \right)}^{2}}}=a$
$SA=AB\tan {{30}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
${{S}_{ABCD}}=\dfrac{\left(AD+BC \right). AB}{2}=\dfrac{\left(2a+a \right). A}{2}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}$
Thể tích khối chóp $S. ABCD$ là:
$V=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
Đáp án B.