Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$, $AB=a$, $BC=2a$, $\widehat{ABC}=60{}^\circ $. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt phẳng $(A B C D)$ là điểm $O$. Biết hai mặt phẳng $(S A B)$ và $(S C D)$ vuông góc với nhau, thể tích của khối chóp đã cho bằng
A. $\dfrac{\sqrt{21}}{6} a^{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{6} a^{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3} a^{3}$.
D. $\dfrac{a^{3}}{2}$.
Ta có $A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AB.BC.\cos \widehat{ABC}={{a}^{2}}+{{(2a)}^{2}}-2.a.2a.\cos 60{}^\circ =3{{a}^{2}}$,
$B{{C}^{2}}=4{{a}^{2}}$, $A{{B}^{2}}={{a}^{2}}$.
$\Rightarrow A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}\Rightarrow \vartriangle ABC$ vuông tại $A$.
Mặt khác $O$ là trung điểm của $AC$ và $SO\bot AC$.
Suy ra $\vartriangle SAC$ vuông cân tại $S\Rightarrow SO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}.a\sqrt{3}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vây thể tích khối chóp đã cho là $V=\dfrac{1}{3}SO.2{{S}_{\vartriangle ABC}}=\dfrac{1}{3}.SO.2.\dfrac{1}{2}.BA.BC.\sin 60{}^\circ =\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.a.2a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
A. $\dfrac{\sqrt{21}}{6} a^{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{6} a^{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3} a^{3}$.
D. $\dfrac{a^{3}}{2}$.
$B{{C}^{2}}=4{{a}^{2}}$, $A{{B}^{2}}={{a}^{2}}$.
$\Rightarrow A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}\Rightarrow \vartriangle ABC$ vuông tại $A$.
Mặt khác $O$ là trung điểm của $AC$ và $SO\bot AC$.
Suy ra $\vartriangle SAC$ vuông cân tại $S\Rightarrow SO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}.a\sqrt{3}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vây thể tích khối chóp đã cho là $V=\dfrac{1}{3}SO.2{{S}_{\vartriangle ABC}}=\dfrac{1}{3}.SO.2.\dfrac{1}{2}.BA.BC.\sin 60{}^\circ =\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.a.2a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
Đáp án D.