Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$ có chiều cao bằng $9$ và đáy là hình bình hành có diện tích bằng $10$. Gọi $M$, $N$, $P$ và $Q$ lần lượt là trọng tâm các mặt bên $SAB$, $SBC$, $SCD$ và $SDA$. Thể tích của khối đa diện lồi có đỉnh là các điểm $M$, $N$, $P$, $Q$, $B$ và $D$ bằng:
A. $9$.
B. $\frac{50}{9}$.
C. $30$.
D. $\frac{25}{3}$.
Ta chia khối đa diện lồi thành hai khối chóp $B.MNPQ$ và $D.BQP$.
Tính thể tích khối $B.MNPQ$ (Hình 1):
Dễ dàng chứng minh được hai hình bình hành $MNPQ$ và $ZILX$ đồng dạng theo tỉ lệ $\frac{2}{3}$.
Và ta cũng có: $\frac{{{S}_{\Delta BIZ}}}{{{S}_{\Delta BAC}}}=\frac{\frac{1}{2}.{{h}_{Z}}.BI}{\frac{1}{2}.{{h}_{A}}.BC}=\frac{{{h}_{Z}}}{{{h}_{A}}}.\frac{BI}{BC}=\frac{1}{4}$ $\Rightarrow {{S}_{\Delta BIZ}}=\frac{1}{8}{{S}_{ABCD}}$.
Tương tự ta được: ${{S}_{\Delta BIZ}}={{S}_{\Delta AXZ}}={{S}_{\Delta DXL}}={{S}_{\Delta CLI}}=\frac{1}{8}{{S}_{ABCD}}$.
Suy ra: ${{S}_{ZILX}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}$.
Vậy: $\frac{{{S}_{MNPQ}}}{{{S}_{ZILX}}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{S}_{MNPQ}}=\frac{4}{9}.\frac{1}{2}.{{S}_{ABCD}}=\frac{20}{9}$.
Mặc khác ta lại có: $\frac{d\left( B,\left( MNPQ \right) \right)}{d\left( S,\left( MNPQ \right) \right)}=\frac{d\left( I,\left( MNPQ \right) \right)}{d\left( S,\left( MNPQ \right) \right)}=\frac{IN}{SN}=\frac{1}{2}\left( BC//\left( MNPQ \right) \right)$
$\Rightarrow \frac{d\left( B,\left( MNPQ \right) \right)}{d\left( S,\left( MNPQ \right) \right)+d\left( B,\left( MNPQ \right) \right)}=\frac{1}{3}$ $\Rightarrow \frac{d\left( B,\left( MNPQ \right) \right)}{d\left( S,\left( ABCD \right) \right)}=\frac{1}{3}$ $\Rightarrow d\left( B,\left( MNPQ \right) \right)=\frac{1}{3}.9=3$.
${{V}_{B.MNPQ}}=\frac{1}{3}.d\left( B,\left( MNPQ \right) \right).{{S}_{MNPQ}}=\frac{1}{3}.\frac{20}{9}.3=\frac{20}{9}$.
Tính thể tích khối $D.BQP$ (Hình 2):
Dễ dàng có được: $\left\{ \begin{aligned}
& {{V}_{C.BDK}}=\frac{1}{2}{{V}_{C.BDS}}=\frac{1}{4}{{V}_{S.ABCD}}={{V}_{A.BDH}} \\
& {{V}_{S.BHK}}=\frac{1}{4}{{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{8}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{15}{4}={{V}_{S.DHK}} \\
\end{aligned} \right.$.
${{V}_{BDHK}}={{V}_{SABCD}}-{{V}_{SBHK}}-{{V}_{SDHK}}-{{V}_{CBDK}}-{{V}_{ABDH}}$ $=\left( 1-\frac{1}{8}-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4} \right){{V}_{SABCD}}=\frac{1}{4}{{V}_{SABCD}}$.
Suy ra:
${{V}_{BDHK}}=\frac{1}{4}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{4}.\frac{1}{3}.9.10=\frac{15}{2}$.
Vậy: $\frac{{{V}_{D.BQP}}}{{{V}_{D.BHK}}}=\frac{4}{9}\Rightarrow {{V}_{D.BQP}}=\frac{4}{9}{{V}_{D.BHK}}=\frac{10}{3}$.
Kết luận: ${{V}_{MNPQDB}}={{V}_{D.BQP}}+{{V}_{B.MNPQ}}=\frac{10}{3}+\frac{20}{9}=\frac{50}{9}$.
A. $9$.
B. $\frac{50}{9}$.
C. $30$.
D. $\frac{25}{3}$.
Ta chia khối đa diện lồi thành hai khối chóp $B.MNPQ$ và $D.BQP$.
Tính thể tích khối $B.MNPQ$ (Hình 1):
Dễ dàng chứng minh được hai hình bình hành $MNPQ$ và $ZILX$ đồng dạng theo tỉ lệ $\frac{2}{3}$.
Và ta cũng có: $\frac{{{S}_{\Delta BIZ}}}{{{S}_{\Delta BAC}}}=\frac{\frac{1}{2}.{{h}_{Z}}.BI}{\frac{1}{2}.{{h}_{A}}.BC}=\frac{{{h}_{Z}}}{{{h}_{A}}}.\frac{BI}{BC}=\frac{1}{4}$ $\Rightarrow {{S}_{\Delta BIZ}}=\frac{1}{8}{{S}_{ABCD}}$.
Tương tự ta được: ${{S}_{\Delta BIZ}}={{S}_{\Delta AXZ}}={{S}_{\Delta DXL}}={{S}_{\Delta CLI}}=\frac{1}{8}{{S}_{ABCD}}$.
Suy ra: ${{S}_{ZILX}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}$.
Vậy: $\frac{{{S}_{MNPQ}}}{{{S}_{ZILX}}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{S}_{MNPQ}}=\frac{4}{9}.\frac{1}{2}.{{S}_{ABCD}}=\frac{20}{9}$.
Mặc khác ta lại có: $\frac{d\left( B,\left( MNPQ \right) \right)}{d\left( S,\left( MNPQ \right) \right)}=\frac{d\left( I,\left( MNPQ \right) \right)}{d\left( S,\left( MNPQ \right) \right)}=\frac{IN}{SN}=\frac{1}{2}\left( BC//\left( MNPQ \right) \right)$
$\Rightarrow \frac{d\left( B,\left( MNPQ \right) \right)}{d\left( S,\left( MNPQ \right) \right)+d\left( B,\left( MNPQ \right) \right)}=\frac{1}{3}$ $\Rightarrow \frac{d\left( B,\left( MNPQ \right) \right)}{d\left( S,\left( ABCD \right) \right)}=\frac{1}{3}$ $\Rightarrow d\left( B,\left( MNPQ \right) \right)=\frac{1}{3}.9=3$.
${{V}_{B.MNPQ}}=\frac{1}{3}.d\left( B,\left( MNPQ \right) \right).{{S}_{MNPQ}}=\frac{1}{3}.\frac{20}{9}.3=\frac{20}{9}$.
Tính thể tích khối $D.BQP$ (Hình 2):
Dễ dàng có được: $\left\{ \begin{aligned}
& {{V}_{C.BDK}}=\frac{1}{2}{{V}_{C.BDS}}=\frac{1}{4}{{V}_{S.ABCD}}={{V}_{A.BDH}} \\
& {{V}_{S.BHK}}=\frac{1}{4}{{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{8}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{15}{4}={{V}_{S.DHK}} \\
\end{aligned} \right.$.
${{V}_{BDHK}}={{V}_{SABCD}}-{{V}_{SBHK}}-{{V}_{SDHK}}-{{V}_{CBDK}}-{{V}_{ABDH}}$ $=\left( 1-\frac{1}{8}-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4} \right){{V}_{SABCD}}=\frac{1}{4}{{V}_{SABCD}}$.
Suy ra:
${{V}_{BDHK}}=\frac{1}{4}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{4}.\frac{1}{3}.9.10=\frac{15}{2}$.
Vậy: $\frac{{{V}_{D.BQP}}}{{{V}_{D.BHK}}}=\frac{4}{9}\Rightarrow {{V}_{D.BQP}}=\frac{4}{9}{{V}_{D.BHK}}=\frac{10}{3}$.
Kết luận: ${{V}_{MNPQDB}}={{V}_{D.BQP}}+{{V}_{B.MNPQ}}=\frac{10}{3}+\frac{20}{9}=\frac{50}{9}$.
Đáp án B.