Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABC,$ đáy $ABC$ là tam giác có $AB=AC=a,\widehat{BAC}={{60}^{0}},\widehat{SBA}=\widehat{SCA}={{90}^{0}},$ góc giữa $\left( SAB \right)$ và $\left( SAC \right)$ bằng ${{60}^{0}}.$ Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
A. $\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}.$
B. $\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$.
Ta có: $\Delta SBA=\Delta SCA\Rightarrow SB=SC$
Gọi M là trung điểm của BC, ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& SM\bot BC \\
& AM\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot (SAM)$
Dựng $SH\bot AM\Rightarrow SH\bot (ABC)$. Khi đó $\widehat{SBH}={{60}^{o}}$
Do $S{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}=S{{B}^{2}};S{{B}^{2}}+A{{B}^{2}}=S{{A}^{2}}$
Ta có: $S{{A}^{2}}=S{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}+A{{B}^{2}}$, mặt khác $S{{A}^{2}}=H{{A}^{2}}+S{{H}^{2}}$
Do đó $H{{B}^{2}}+A{{B}^{2}}=H{{A}^{2}}\Rightarrow HB\bot AB$
Ta có: $AB=a\Rightarrow BH=AB\tan \widehat{BAH}=a\sqrt{3}$
Khi đó:
$\begin{aligned}
& SH=HB\tan {{60}^{o}}=3a;{{S}_{ABC}}=\dfrac{AB.AC.\sin A}{2}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \\
& \Rightarrow V=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABC}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4} \\
\end{aligned}$
A. $\dfrac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}.$
B. $\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$.
Ta có: $\Delta SBA=\Delta SCA\Rightarrow SB=SC$
Gọi M là trung điểm của BC, ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& SM\bot BC \\
& AM\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot (SAM)$
Dựng $SH\bot AM\Rightarrow SH\bot (ABC)$. Khi đó $\widehat{SBH}={{60}^{o}}$
Do $S{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}=S{{B}^{2}};S{{B}^{2}}+A{{B}^{2}}=S{{A}^{2}}$
Ta có: $S{{A}^{2}}=S{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}+A{{B}^{2}}$, mặt khác $S{{A}^{2}}=H{{A}^{2}}+S{{H}^{2}}$
Do đó $H{{B}^{2}}+A{{B}^{2}}=H{{A}^{2}}\Rightarrow HB\bot AB$
Ta có: $AB=a\Rightarrow BH=AB\tan \widehat{BAH}=a\sqrt{3}$
Khi đó:
$\begin{aligned}
& SH=HB\tan {{60}^{o}}=3a;{{S}_{ABC}}=\dfrac{AB.AC.\sin A}{2}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \\
& \Rightarrow V=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABC}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4} \\
\end{aligned}$
Đáp án D.