Cho khối chóp $S . A B C$ có $\hat{A S B} = \hat{B S C} = \hat{C S A} = 60^{\circ}, S A = a, S B = 2 a, S C = 4 a .$ Tính thể tích khối chóp $S . A B C$ theo $a ?$

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Cho khối chóp

S . A B C

có

\hat{A S B} = \hat{B S C} = \hat{C S A} = 60^{\circ}, S A = a, S B = 2 a, S C = 4 a .

Tính thể tích khối chóp

S . A B C

theo

a ?

A.

\frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{3} .

B.

\frac{8 a^{3} \sqrt{2}}{3} .

C.

\frac{4 a^{3} \sqrt{2}}{3} .

D.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .

Lấy trên

S B, S C

hai điểm

E, F

sao cho

S E = S F = S A = a .

Do

\hat{A S B} = \hat{B S C} = \hat{C S A} = 60^{0}

nên tứ diện

S A E F

là tứ diện đều có cạnh bằng

a .

Gọi

H

là chân đường cao hạ từ

S

xuống mặt phẳng

(A E F) .

Thể tích khối tứ diện

S A E F

bằng:

V_{S A E F} = \frac{1}{3} S H . S_{A E F} = \frac{1}{3} . \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} . S_{A E F} = \frac{1}{3} . \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{3}} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}

Lại có:

\frac{V_{S A E F}}{V_{S A B C}} = \frac{S E}{S B} . \frac{S F}{S C} = \frac{1}{8} \Rightarrow V_{S A B C} = 8. V_{S A E F} = \frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{3} .

Đáp án A.

Cho khối chóp S.ABC có ASB^=BSC^=CSA^=60∘,SA=a,SB=2a,SC=4a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a?