Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S. ABC$ có $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}={{60}^{\circ }}, SA=a, SB=2a, SC=4a.$ Tính thể tích khối chóp $S. ABC$ theo $a?$
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
C. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
Lấy trên $SB, SC$ hai điểm $E, F$ sao cho $SE=SF=SA=a.$ Do $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}={{60}^{0}}$ nên tứ diện $SAEF$ là tứ diện đều có cạnh bằng $a.$
Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ $S$ xuống mặt phẳng $\left(AEF \right).$ Thể tích khối tứ diện $SAEF$ bằng:
${{V}_{SAEF}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{AEF}}=\dfrac{1}{3}.\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}.{{S}_{AEF}}=\dfrac{1}{3}.\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$
Lại có: $\dfrac{{{V}_{SAEF}}}{{{V}_{SABC}}}=\dfrac{SE}{SB}.\dfrac{SF}{SC}=\dfrac{1}{8}\Rightarrow {{V}_{SABC}}=8.{{V}_{SAEF}}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
C. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
Lấy trên $SB, SC$ hai điểm $E, F$ sao cho $SE=SF=SA=a.$ Do $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}={{60}^{0}}$ nên tứ diện $SAEF$ là tứ diện đều có cạnh bằng $a.$
Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ $S$ xuống mặt phẳng $\left(AEF \right).$ Thể tích khối tứ diện $SAEF$ bằng:
${{V}_{SAEF}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{AEF}}=\dfrac{1}{3}.\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}.{{S}_{AEF}}=\dfrac{1}{3}.\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$
Lại có: $\dfrac{{{V}_{SAEF}}}{{{V}_{SABC}}}=\dfrac{SE}{SB}.\dfrac{SF}{SC}=\dfrac{1}{8}\Rightarrow {{V}_{SABC}}=8.{{V}_{SAEF}}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
Đáp án A.