Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B,\angle SAB=\angle SBC={{90}^{0}},AB=a,BC=2a.$ Biết rằng góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng đáy bằng ${{60}^{0}},$ thể tích khối chop đã cho bằng:
A. ${{a}^{3}}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{6}$
A. ${{a}^{3}}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{6}$
Phương pháp:
- Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $\left( ABC \right)$, chứng minh $ABCH$ là hình chữ nhật.
- Xác định góc giữa $SB$ và mặt đáy là góc giữa $SB$ và hình chiếu vuông góc của $SB$ lên mặt đáy, sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính $SH.$
- Tính thể tích ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{\Delta ABC}}$.
Cách giải:
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $\left( ABC \right)$.
Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SC\left( gt \right) \\
& BC\bot SH\left( SH\bot \left( ABC \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SCH \right)\Rightarrow BC\bot CH$
$\left\{ \begin{aligned}
& SB\bot SA\left( gt \right) \\
& AB\bot SH\left( SH\bot \left( ABC \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SAH \right)\Rightarrow AB\bot AH$
$\Rightarrow ABCH$ là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông).
Vì $SH\bot \left( ABC \right)$ nên $HB$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ lên $\left( ABC \right)$
$\Rightarrow \angle \left( SB;\left( ABC \right) \right)=\angle \left( SB;HB \right)=\angle SBH={{60}^{0}}$.
Áp dụng định lí Pytago ta có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=a\sqrt{5},$ lại có $ABCH$ là hình vuông nên $BH=AC=a\sqrt{5}.$
Xét tam giác vuông $SBH$ có $SH=BH.\tan {{30}^{0}}=a\sqrt{15}.$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.\dfrac{1}{2}AB.BC=\dfrac{1}{6}.a\sqrt{15}.a.2a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}.$
- Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $\left( ABC \right)$, chứng minh $ABCH$ là hình chữ nhật.
- Xác định góc giữa $SB$ và mặt đáy là góc giữa $SB$ và hình chiếu vuông góc của $SB$ lên mặt đáy, sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính $SH.$
- Tính thể tích ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{\Delta ABC}}$.
Cách giải:
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $\left( ABC \right)$.
Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SC\left( gt \right) \\
& BC\bot SH\left( SH\bot \left( ABC \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SCH \right)\Rightarrow BC\bot CH$
$\left\{ \begin{aligned}
& SB\bot SA\left( gt \right) \\
& AB\bot SH\left( SH\bot \left( ABC \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SAH \right)\Rightarrow AB\bot AH$
$\Rightarrow ABCH$ là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông).
Vì $SH\bot \left( ABC \right)$ nên $HB$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ lên $\left( ABC \right)$
$\Rightarrow \angle \left( SB;\left( ABC \right) \right)=\angle \left( SB;HB \right)=\angle SBH={{60}^{0}}$.
Áp dụng định lí Pytago ta có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=a\sqrt{5},$ lại có $ABCH$ là hình vuông nên $BH=AC=a\sqrt{5}.$
Xét tam giác vuông $SBH$ có $SH=BH.\tan {{30}^{0}}=a\sqrt{15}.$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.\dfrac{1}{2}AB.BC=\dfrac{1}{6}.a\sqrt{15}.a.2a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}.$
Đáp án C.