Google
Câu hỏi: Cho khối chóp ${S.ABC}$ có đáy là tam giác vuông cân tại ${B}$ và ${AB=a , SA\bot \left( ABC \right)}$. Góc giữa cạnh bên ${SB}$ và mặt phẳng ${\left( ABC \right)}$ bằng ${60{}^\circ }$. Khi đó khoảng cách từ ${A}$ đến ${\left( SBC \right)}$ là:
A. ${\sqrt{3}a}$.
B. ${\dfrac{a\sqrt{3}}{3}}$.
C. ${\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}$.
D. ${\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}$.
Ta có : ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}{{\left( AB \right)}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
Ta có : $(SB,\widehat{\left( ABC \right)}=\left( \widehat{SB,AB} \right)=\widehat{SBA}={{60}^{0}}\Rightarrow SA=AB.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}$
Kė $AH\bot SB$ tại H.(1)
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AH\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$ tại H $AH=d\left( A;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{S{{A}^{2}}.A{{B}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}.a}{\sqrt{3{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
A. ${\sqrt{3}a}$.
B. ${\dfrac{a\sqrt{3}}{3}}$.
C. ${\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}$.
D. ${\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}$.
Ta có : ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}{{\left( AB \right)}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
Ta có : $(SB,\widehat{\left( ABC \right)}=\left( \widehat{SB,AB} \right)=\widehat{SBA}={{60}^{0}}\Rightarrow SA=AB.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}$
Kė $AH\bot SB$ tại H.(1)
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AH\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$ tại H $AH=d\left( A;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{S{{A}^{2}}.A{{B}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}.a}{\sqrt{3{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Đáp án C.