Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ và hai mặt bên $\left( SAB \right),\left( SAC \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp $S.ABC$ biết $SC=a\sqrt{3}.$
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$
$ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$
Hai mặt bên $\left( SAB \right),\left( SAC \right)$ cùng vuông góc với mặt đáy nên $SA\bot \left( ABC \right).$
Trong tam giác vuông $SAC$ ta có: $SA=\sqrt{S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}.$
Thể tích của khối chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SA=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$
$ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$
Hai mặt bên $\left( SAB \right),\left( SAC \right)$ cùng vuông góc với mặt đáy nên $SA\bot \left( ABC \right).$
Trong tam giác vuông $SAC$ ta có: $SA=\sqrt{S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}.$
Thể tích của khối chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SA=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$
Đáp án B.