Google
Câu hỏi: Cho khối chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( SBC \right)$ vuông góc với nhau. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{12}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{4}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{12}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{4}$.
Gọi ${ O}$ là tâm của $\Delta ABC$ suy ra $SO\bot (ABC)$
Gọi $N$ là trung điểm của $AB$, ta được $AB\bot \left( SNC \right)\Rightarrow AB\bot SC$
Dựng $NM\bot SC,\text{ }M\in SC$. Suy ra $\left( ABM \right)\bot SC$
Ta có $\left. \begin{aligned}
& (SAC)\bot (SBC) \\
& (SAC)\cap (SBC)=SC \\
& \left( ABM \right)\bot SC \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AM\bot BM\Rightarrow MN=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}$
Đặt $SO=x$.
Trong tam giác $SNC$ ta có $SO.NC=MN.SC\Leftrightarrow x.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a}{2}.\sqrt{{{x}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}\Rightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{6}\Rightarrow x=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt{6}}{6}\cdot \dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$.
Gọi $N$ là trung điểm của $AB$, ta được $AB\bot \left( SNC \right)\Rightarrow AB\bot SC$
Dựng $NM\bot SC,\text{ }M\in SC$. Suy ra $\left( ABM \right)\bot SC$
Ta có $\left. \begin{aligned}
& (SAC)\bot (SBC) \\
& (SAC)\cap (SBC)=SC \\
& \left( ABM \right)\bot SC \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AM\bot BM\Rightarrow MN=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}$
Đặt $SO=x$.
Trong tam giác $SNC$ ta có $SO.NC=MN.SC\Leftrightarrow x.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a}{2}.\sqrt{{{x}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}\Rightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{6}\Rightarrow x=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt{6}}{6}\cdot \dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$.
Đáp án A.