Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $ABCD.A'B'C'D'$ có thể tích $V.$ Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,B'C'$ và $C'D',$ điểm $Q$ thuộc cạnh $CC'$ sao cho $CQ=2QC'.$ Thể tích khối tứ diện $MNPQ$ bằng
A. $\dfrac{1}{4}V.$
B. $\dfrac{17}{12}V.$
C. $\dfrac{5}{72}V.$
D. $\dfrac{7}{72}V.$
Gọi $M'$ là trung điểm của $A'B'$
Khi đó: ${{V}_{MPQN}}={{V}_{MQNH}}$
Ta có: $KC'=\dfrac{1}{2}C'M'.C'O=\dfrac{1}{2}OM'$
Đặt: $OM'=x\Rightarrow C'O=\dfrac{1}{2}x;C'K=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{2}x+x \right)=\dfrac{3}{4}x\Rightarrow KO=\dfrac{7}{4}M'O$
${{S}_{KPN}}=\dfrac{7}{4}{{S}_{PMM'}}=\dfrac{7}{4}.\dfrac{1}{2}.{{S}_{A'B'C'D'}}=\dfrac{7}{8}{{S}_{A'B'C'D'}}$
Ta có: ${{V}_{MPKH}}=\dfrac{7}{8}.\dfrac{1}{3}V=\dfrac{7}{24}V;{{V}_{QPKA}}=\dfrac{7}{72}V\Rightarrow {{V}_{MPQS}}=\dfrac{\dfrac{7}{24}-\dfrac{7}{72}}{2}V=\dfrac{7}{72}V$
A. $\dfrac{1}{4}V.$
B. $\dfrac{17}{12}V.$
C. $\dfrac{5}{72}V.$
D. $\dfrac{7}{72}V.$
Gọi $M'$ là trung điểm của $A'B'$
Khi đó: ${{V}_{MPQN}}={{V}_{MQNH}}$
Ta có: $KC'=\dfrac{1}{2}C'M'.C'O=\dfrac{1}{2}OM'$
Đặt: $OM'=x\Rightarrow C'O=\dfrac{1}{2}x;C'K=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{2}x+x \right)=\dfrac{3}{4}x\Rightarrow KO=\dfrac{7}{4}M'O$
${{S}_{KPN}}=\dfrac{7}{4}{{S}_{PMM'}}=\dfrac{7}{4}.\dfrac{1}{2}.{{S}_{A'B'C'D'}}=\dfrac{7}{8}{{S}_{A'B'C'D'}}$
Ta có: ${{V}_{MPKH}}=\dfrac{7}{8}.\dfrac{1}{3}V=\dfrac{7}{24}V;{{V}_{QPKA}}=\dfrac{7}{72}V\Rightarrow {{V}_{MPQS}}=\dfrac{\dfrac{7}{24}-\dfrac{7}{72}}{2}V=\dfrac{7}{72}V$
Đáp án D.