Cho khối bát diện đều có cạnh $a$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trọng...

Gọi $O=AC\cap BD$ ; $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$.
Do $M,N$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAB,SBC$ nên ta có $MN={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{IJ}={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{AC=}{\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{3}}$
Do $SABCD{S}^{\prime }$ là bát diện đều nên hoàn toàn tương tự ta có tất cả các cạnh còn lại của của khối lăng trụ $MNPQ.M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$ cũng bằng ${\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{3}}$.
Mặt khác $AC\mathrm{\perp }BD$, mà $MN\text{//AC//PQ,}\text{MQ//}BD\text{//NP}$ nên $MNPQ$ là hình vuông.
Tương tự ta có tất cả các mặt còn lại của lăng trụ $MNPQ.M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$ cũng là hình vuông.
Suy ra lăng trụ $MNPQ.M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$ là hình lập phương có cạnh bằng ${\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{3}}$.
Vậy $V_{MNPQ.M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }}={\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{3}}\right)}^3={\displaystyle \frac{2a^3\sqrt{2}}{27}}$.