Google
Câu hỏi: Cho khối bát diện đều có cạnh $a$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAB,SBC,SCD,SDA$ ; gọi ${M}',{N}',{P}',{Q}'$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ${S}'AB,{S}'BC,{S}'CD,{S}'DA$ (như hình vẽ dưới). Thể tích của khối lăng trụ $MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'$ là
A. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{72}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{81}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{24}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{27}$.
Gọi $O=AC\cap BD$ ; $I, J$ lần lượt là trung điểm của $AB, BC$.
Do $M,N$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAB,SBC$ nên ta có $MN=\dfrac{2}{3}\text{IJ}=\dfrac{1}{3}\text{AC=}\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$
Do $SABCD{S}'$ là bát diện đều nên hoàn toàn tương tự ta có tất cả các cạnh còn lại của của khối lăng trụ $MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'$ cũng bằng $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
Mặt khác $AC\bot BD$, mà $MN\text{//AC//PQ,} \text{MQ//}BD\text{//NP}$ nên $MNPQ$ là hình vuông.
Tương tự ta có tất cả các mặt còn lại của lăng trụ $MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'$ cũng là hình vuông.
Suy ra lăng trụ $MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'$ là hình lập phương có cạnh bằng $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
Vậy ${{V}_{MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'}}={{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{27}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{81}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{24}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{27}$.
Do $M,N$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAB,SBC$ nên ta có $MN=\dfrac{2}{3}\text{IJ}=\dfrac{1}{3}\text{AC=}\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$
Do $SABCD{S}'$ là bát diện đều nên hoàn toàn tương tự ta có tất cả các cạnh còn lại của của khối lăng trụ $MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'$ cũng bằng $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
Mặt khác $AC\bot BD$, mà $MN\text{//AC//PQ,} \text{MQ//}BD\text{//NP}$ nên $MNPQ$ là hình vuông.
Tương tự ta có tất cả các mặt còn lại của lăng trụ $MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'$ cũng là hình vuông.
Suy ra lăng trụ $MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'$ là hình lập phương có cạnh bằng $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
Vậy ${{V}_{MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'}}={{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{27}$.
Đáp án D.