Google
Câu hỏi: Cho $\int\limits_{16}^{55}{\dfrac{\text{d}x}{x\sqrt{x+9}}}=a\ln 2+b\ln 5+c\ln 11$, với $a,b,c$ là các số hữu tỉ. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $a-b=-c.$
B. $a+b=c.$
C. $a+b=3c.$
D. $a-b=-3c.$
A. $a-b=-c.$
B. $a+b=c.$
C. $a+b=3c.$
D. $a-b=-3c.$
Đặt $t=\sqrt{x+9} \Rightarrow t^{2}=x+9 \Rightarrow 2 t \mathrm{dt}=\mathrm{d} x$.
Đổi cận $x=16 \Rightarrow t=5, x=55 \Rightarrow t=8$.
Do đó $\int_{16}^{55} \dfrac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x+9}}=\int_{5}^{8} \dfrac{2 t \mathrm{dt}}{t\left(t^{2}-9\right)}=2 \int_{5}^{8} \dfrac{\mathrm{dt}}{t^{2}-9}=\dfrac{1}{3} \int_{5}^{8}\left(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}\right) \mathrm{d} x=\left.\dfrac{1}{3} \ln \left|\dfrac{x-3}{x+3}\right|\right|_{5} ^{8}$
$
=\dfrac{1}{3} \ln \dfrac{5}{11}-\dfrac{1}{3} \ln \dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{3} \ln 2+\dfrac{1}{3} \ln 5-\dfrac{1}{3} \ln 11 \text {. }
$
Vậy $a=\dfrac{2}{3} ; b=\dfrac{1}{3} ; c=-\dfrac{1}{3} \Rightarrow a-b=-c$.
Đổi cận $x=16 \Rightarrow t=5, x=55 \Rightarrow t=8$.
Do đó $\int_{16}^{55} \dfrac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x+9}}=\int_{5}^{8} \dfrac{2 t \mathrm{dt}}{t\left(t^{2}-9\right)}=2 \int_{5}^{8} \dfrac{\mathrm{dt}}{t^{2}-9}=\dfrac{1}{3} \int_{5}^{8}\left(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}\right) \mathrm{d} x=\left.\dfrac{1}{3} \ln \left|\dfrac{x-3}{x+3}\right|\right|_{5} ^{8}$
$
=\dfrac{1}{3} \ln \dfrac{5}{11}-\dfrac{1}{3} \ln \dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{3} \ln 2+\dfrac{1}{3} \ln 5-\dfrac{1}{3} \ln 11 \text {. }
$
Vậy $a=\dfrac{2}{3} ; b=\dfrac{1}{3} ; c=-\dfrac{1}{3} \Rightarrow a-b=-c$.
Đáp án A.