Cho $\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{\left( {{x}^{3}}+1 \right)\ln...

Phương pháp:
- Phân tích và rút gọn.
- Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
Cách giải:
Ta có
$\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{\left( {{x}^{3}}+1 \right)\ln x+2021{{x}^{2}}+1}{2021+x\ln x}dx}$
$=\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{{{x}^{3}}\ln x+\ln x+2021{{x}^{2}}+1}{2021+x\ln x}dx}$
$=\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{{{x}^{2}}\left( x\ln x+2021 \right)+\ln x+1}{2021+x\ln x}dx}$
$=\int\limits_{1}^{e}{\left( {{x}^{2}}+\dfrac{\ln x+1}{2021+x\ln x} \right)dx}$
$=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}\left| \begin{aligned}
& e \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.+\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{\ln x+1}{2021+x\ln x}dx}$
$=\dfrac{{{e}^{3}}-1}{3}+I$
Xét tích phân $I=\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{\ln x+1}{2021+x\ln x}dx.}$
Đặt $t=2021+x\ln x\Rightarrow dt=\left( \ln x+x.\dfrac{1}{x} \right)dx=\left( \ln x+1 \right)dx$
Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=1\Rightarrow t=2021 \\
& x=e\Rightarrow t=2021+e \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó ta có: $I=\int\limits_{2021}^{2021+e}{\dfrac{dt}{t}}=\ln \left| t \right|\left| \begin{aligned}
& 2021+e \\
& 2021 \\
\end{aligned} \right.=\ln \left( 2021+e \right)-\ln 2021=\ln \dfrac{e+2021}{2021}.$
$\Rightarrow \int\limits_{1}^{e}{\dfrac{\left( {{x}^{3}}+1 \right)\ln x+2021{{x}^{2}}+1}{2021+x\ln x}dx}=\dfrac{{{e}^{3}}-1}{3}+\ln \dfrac{e+2021}{2021}$
$\Rightarrow a=3,b=-1,c=e.$
Vậy $c-b>a.$