Google
Câu hỏi: Cho $\int\limits_{1}^{3}{\dfrac{\ln x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\text{dx}}=\dfrac{a}{b}\ln 3-c\ln 2$ với $a,b,c\in \mathbb{N}*$ và phân số $\dfrac{a}{b}$ tối giản. Giá trị của $a+b+c$ bằng:
A. $8$.
B. $7$.
C. $6$.
D. $9$.
A. $8$.
B. $7$.
C. $6$.
D. $9$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=\ln x \\
& dv=\dfrac{dx}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=\dfrac{dx}{x} \\
& v=-\dfrac{1}{x+1} \\
\end{aligned} \right.$, áp dụng công thức tích phân từng phần ta có:
$I=\int\limits_{1}^{3}{\dfrac{\ln x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\text{dx}}=\left. -\dfrac{\ln x}{\left( x+1 \right)} \right|_{1}^{3}+\int\limits_{1}^{3}{\dfrac{1}{x\left( x+1 \right)}\text{dx}}=-\dfrac{1}{4}\ln 3+\left. \ln \left| \dfrac{x}{x+1} \right| \right|_{1}^{3}=\dfrac{3}{4}\ln 3-\ln 2=\dfrac{a}{b}\ln 3-c\ln 2$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=4 \\
& c=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b+c=8$.
& u=\ln x \\
& dv=\dfrac{dx}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=\dfrac{dx}{x} \\
& v=-\dfrac{1}{x+1} \\
\end{aligned} \right.$, áp dụng công thức tích phân từng phần ta có:
$I=\int\limits_{1}^{3}{\dfrac{\ln x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\text{dx}}=\left. -\dfrac{\ln x}{\left( x+1 \right)} \right|_{1}^{3}+\int\limits_{1}^{3}{\dfrac{1}{x\left( x+1 \right)}\text{dx}}=-\dfrac{1}{4}\ln 3+\left. \ln \left| \dfrac{x}{x+1} \right| \right|_{1}^{3}=\dfrac{3}{4}\ln 3-\ln 2=\dfrac{a}{b}\ln 3-c\ln 2$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=4 \\
& c=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b+c=8$.
Đáp án A.