Google
Câu hỏi: Cho $\int\limits_{0}^{4}{f}\left( x \right)~dx=2019.$ Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{2}{\left[ f\left( 2x \right)+f\left( 4-2x \right) \right]}dx$
A. $I=\dfrac{2019}{2}.$
B. $I=2019.$
C. $I=4038.$
D. $I=0.~$
A. $I=\dfrac{2019}{2}.$
B. $I=2019.$
C. $I=4038.$
D. $I=0.~$
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.
Cách giải:
Ta có: $I=\int\limits_{0}^{2}{\left[ f\left( 2x \right)+f\left( 4-2x \right) \right]}dx=\int\limits_{0}^{2}{f\left( 2x \right)dx}+\int\limits_{0}^{2}{f\left( 4-2x \right)dx}$
Xét ${{I}_{1}}~=\int\limits_{0}^{2}{f}\left( 2x \right)~dx:~$
Đặt $t=2x\Rightarrow {{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{4}{f}(t)\dfrac{1}{2}dt=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{4}{f}(t)dt=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{4}{f}(x)dx=\dfrac{1}{2}\cdot 2019=\dfrac{2019}{2}$
Xét ${{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{2}{f}(4-2x)dx$
Đặt $t=4-2x\Rightarrow {{I}_{1}}=\int\limits_{4}^{0}{f}(t)\left( -\dfrac{1}{2}dt \right)=-\dfrac{1}{2}\int\limits_{4}^{0}{f}(t)dt=\dfrac{1}{2}\int\limits_{4}^{0}{f}(t)dt=\dfrac{1}{2}\int\limits_{4}^{0}{f}(x)dx=\dfrac{1}{2}.2019=\dfrac{2019}{2}$
$I={{I}_{1}}+{{I}_{2}}=\dfrac{2019}{2}+\dfrac{2019}{2}=2019$
Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.
Cách giải:
Ta có: $I=\int\limits_{0}^{2}{\left[ f\left( 2x \right)+f\left( 4-2x \right) \right]}dx=\int\limits_{0}^{2}{f\left( 2x \right)dx}+\int\limits_{0}^{2}{f\left( 4-2x \right)dx}$
Xét ${{I}_{1}}~=\int\limits_{0}^{2}{f}\left( 2x \right)~dx:~$
Đặt $t=2x\Rightarrow {{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{4}{f}(t)\dfrac{1}{2}dt=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{4}{f}(t)dt=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{4}{f}(x)dx=\dfrac{1}{2}\cdot 2019=\dfrac{2019}{2}$
Xét ${{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{2}{f}(4-2x)dx$
Đặt $t=4-2x\Rightarrow {{I}_{1}}=\int\limits_{4}^{0}{f}(t)\left( -\dfrac{1}{2}dt \right)=-\dfrac{1}{2}\int\limits_{4}^{0}{f}(t)dt=\dfrac{1}{2}\int\limits_{4}^{0}{f}(t)dt=\dfrac{1}{2}\int\limits_{4}^{0}{f}(x)dx=\dfrac{1}{2}.2019=\dfrac{2019}{2}$
$I={{I}_{1}}+{{I}_{2}}=\dfrac{2019}{2}+\dfrac{2019}{2}=2019$
Đáp án B.