Cho $I=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{x+\ln x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}dx}=\dfrac{a}{b}\ln 2-\dfrac{1}{c}$ với $a,b,c$ là các số nguyên dương và...

Phương pháp:
- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x+\ln x \\
& dv=\dfrac{dx}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \\
\end{aligned} \right..$
- Đồng nhất hệ số tìm $a,b,c$ và tính $S.$
Cách giải:
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x+\ln x \\
& dv=\dfrac{dx}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=\left( 1+\dfrac{1}{x} \right)dx=\dfrac{x+1}{x}dx \\
& v=-\dfrac{1}{x+1} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó ta có
$I=-\left( x+\ln x \right)\dfrac{1}{x+1}\left| \begin{aligned}
& 2 \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.+\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{1}{x+1}.\dfrac{x+1}{x}dx}$
$=-\left( 2+\ln 2 \right).\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}+\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{dx}{x}}$
$=-\left( 2+\ln 2 \right).\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}+\ln \left| x \right|\left| \begin{aligned}
& 2 \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.$
$=-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\ln 2+\dfrac{1}{2}+\ln 2$
$=\dfrac{2}{3}\ln 2-\dfrac{1}{6}$
$\Rightarrow a=2,b=3,c=6$
Vậy $S=\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{2+3}{6}=\dfrac{5}{6}.$