Cho $I=\int\limits_{0}^{3}{\dfrac{x}{1+\sqrt{x+1}}dx.}$ Nếu đặt $t=\sqrt{x+1}$ thì $I=\int\limits_{1}^{2}{f\left( t \right)dt},$ trong đó $f\left(...

(NB) - Tích phân
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp đổi biến để tính tích phân.
Khi đổi từ biến $x$ sang biến $t$ ta cần đổi cận.
Từ đó ta tìm được hàm số $f\left( t \right)$
Cách giải:
Ta có: $I=\int\limits_{0}^{3}{\dfrac{x}{1+\sqrt{x+1}}dx}$
Đặt $t=\sqrt{x+1}\Rightarrow {{t}^{2}}=x+1\Rightarrow dx=2tdt$
Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=1 \\
& x=3\Rightarrow t=2 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{2}{\dfrac{{{t}^{2}}-1}{1+t}2tdt}=2\int\limits_{0}^{2}{\dfrac{\left( t-1 \right)\left( t+1 \right)}{t+1}tdt}=2\int\limits_{0}^{2}{t\left( t-1 \right)dt}=2\int\limits_{0}^{2}{\left( {{t}^{2}}-1 \right)dt}$
$\Rightarrow f\left( t \right)=2\left( {{t}^{2}}-1 \right)=2{{t}^{2}}-2t.$