Google
Câu hỏi: Cho hình vuông $ABCD$ có các đỉnh $A,B,C$ tương ứng nằm trên đồ thị của các hàm số $y={{\log }_{a}}x,u=2{{\log }_{a}}x$ và $y=3{{\log }_{a}}x.$ Biết rằng diện tích hình vuông bằng 36, cạnh $AB$ song song với trục hoành. Khi đó $a$ bằng:
A. $\sqrt{6}$
B. $\sqrt[6]{3}$
C. $\sqrt[3]{6}$
D. $\sqrt{3}$
A. $\sqrt{6}$
B. $\sqrt[6]{3}$
C. $\sqrt[3]{6}$
D. $\sqrt{3}$
Phương pháp:
- Gọi $A\left( m;{{\log }_{a}}m \right),B\left( n;2{{\log }_{a}}n \right);C\left( p;3{{\log }_{3}}p \right)\left( m,n,p>0 \right).$
- Tính $\overrightarrow{AB},$ sử dụng điều kiện cạnh $AB$ song song với trục hoành tìm $m$ theo $n.$
- Tính $AB,$ giải phương trình tìm $m,n.$
- Tính $\overrightarrow{BC},$ sử dụng điều kiện $BC\bot AB$ tìm $p.$
- Giải phương trình độ dài cạnh $BC$ tìm $a.$
Cách giải:
Gọi $A\left( m;{{\log }_{a}}m \right),B\left( n;2{{\log }_{a}}n \right);C\left( p;3{{\log }_{3}}p \right)\left( m,n,p>0 \right).$
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( n-m;2{{\log }_{a}}n-{{\log }_{a}}m \right)=\left( n-m;{{\log }_{a}}\dfrac{{{n}^{2}}}{m} \right).$
Vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{i}\left( 1;0 \right)$ cùng phương nên ${{\log }_{a}}\dfrac{{{n}^{2}}}{m}=0\Leftrightarrow \dfrac{{{n}^{2}}}{m}=1\Leftrightarrow {{n}^{2}}=m.$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( n-{{n}^{2}};0 \right)\Rightarrow AB=\left| n-{{n}^{2}} \right|$.
Lại có ${{S}_{ABCD}}=36\Rightarrow A{{B}^{2}}=36\Leftrightarrow AB=6.$
$\Rightarrow \left| n-{{n}^{2}} \right|=6\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{n}^{2}}-n=6 \\
& {{n}^{2}}-n=-6\left( VN \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=3 \\
& n=-2\left( ktm \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m=9$
Tương tự ta có $\overrightarrow{BC}=\left( p-n;{{\log }_{a}}\dfrac{{{p}^{3}}}{{{n}^{2}}} \right)$ cùng phương với $\overrightarrow{j}=\left( 0;1 \right)$ nên $p-n=0\Leftrightarrow p=n=3.$
$\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\left( 0;{{\log }_{a}}\dfrac{{{3}^{3}}}{{{3}^{2}}} \right)=\left( 0;{{\log }_{a}}3 \right)\Rightarrow BC=\left| {{\log }_{a}}3 \right|.$
Mà $BC=AB=6\Rightarrow \left| {{\log }_{a}}3 \right|=6\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{a}}3=6 \\
& {{\log }_{a}}3=-6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow a=\sqrt[6]{3}$.
- Gọi $A\left( m;{{\log }_{a}}m \right),B\left( n;2{{\log }_{a}}n \right);C\left( p;3{{\log }_{3}}p \right)\left( m,n,p>0 \right).$
- Tính $\overrightarrow{AB},$ sử dụng điều kiện cạnh $AB$ song song với trục hoành tìm $m$ theo $n.$
- Tính $AB,$ giải phương trình tìm $m,n.$
- Tính $\overrightarrow{BC},$ sử dụng điều kiện $BC\bot AB$ tìm $p.$
- Giải phương trình độ dài cạnh $BC$ tìm $a.$
Cách giải:
Gọi $A\left( m;{{\log }_{a}}m \right),B\left( n;2{{\log }_{a}}n \right);C\left( p;3{{\log }_{3}}p \right)\left( m,n,p>0 \right).$
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( n-m;2{{\log }_{a}}n-{{\log }_{a}}m \right)=\left( n-m;{{\log }_{a}}\dfrac{{{n}^{2}}}{m} \right).$
Vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{i}\left( 1;0 \right)$ cùng phương nên ${{\log }_{a}}\dfrac{{{n}^{2}}}{m}=0\Leftrightarrow \dfrac{{{n}^{2}}}{m}=1\Leftrightarrow {{n}^{2}}=m.$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( n-{{n}^{2}};0 \right)\Rightarrow AB=\left| n-{{n}^{2}} \right|$.
Lại có ${{S}_{ABCD}}=36\Rightarrow A{{B}^{2}}=36\Leftrightarrow AB=6.$
$\Rightarrow \left| n-{{n}^{2}} \right|=6\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{n}^{2}}-n=6 \\
& {{n}^{2}}-n=-6\left( VN \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=3 \\
& n=-2\left( ktm \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m=9$
Tương tự ta có $\overrightarrow{BC}=\left( p-n;{{\log }_{a}}\dfrac{{{p}^{3}}}{{{n}^{2}}} \right)$ cùng phương với $\overrightarrow{j}=\left( 0;1 \right)$ nên $p-n=0\Leftrightarrow p=n=3.$
$\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\left( 0;{{\log }_{a}}\dfrac{{{3}^{3}}}{{{3}^{2}}} \right)=\left( 0;{{\log }_{a}}3 \right)\Rightarrow BC=\left| {{\log }_{a}}3 \right|.$
Mà $BC=AB=6\Rightarrow \left| {{\log }_{a}}3 \right|=6\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{a}}3=6 \\
& {{\log }_{a}}3=-6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow a=\sqrt[6]{3}$.
Đáp án B.