Google
Câu hỏi: Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a,$ trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ tại $A$ ta lấy điểm $S$ di động không trùng với $A$. Hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB, SD$ lần lượt là $H, K$. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện $ACHK$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{32}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$.
Ta sẽ sử dụng công thức $V=\dfrac{1}{6}a.b.d\left( a,b \right).\sin \left( a,b \right)$ (với a, b chéo nhau).
Đặt $SA=x\left( x>0 \right)$.
Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $S{{A}^{2}}=SH.SB\Rightarrow \dfrac{SH}{SB}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}$.
Mà $\dfrac{SK}{SD}=\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{HK}{BD}\Rightarrow \dfrac{SK}{SD}=\dfrac{HK}{BD}=\dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}\Rightarrow $ $HK=\dfrac{{{x}^{2}}a\sqrt{2}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$
Lại có $\dfrac{IH}{SA}=\dfrac{HB}{SB}=\dfrac{SB-SH}{SB}=1-\dfrac{SH}{SB}=1-\dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}\Rightarrow $ $IH=\dfrac{{{a}^{2}}x}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$
Mặt khác ta có $AC$ và $HK$ chéo nhau và $HK//\left( ABCD \right);AC\subset \left( ABCD \right)$ nên $H I=d(K H, A C)$ và $A C \perp H K$
Khi đó $\cdot {{V}_{ACBR}}=\dfrac{1}{6}AC.KH.HI=\dfrac{1}{6}\cdot a\sqrt{2}\cdot \dfrac{{{x}^{2}}a\sqrt{2}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}\cdot \dfrac{{{a}^{2}}x}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}=\dfrac{{{a}^{4}}}{3}\cdot \dfrac{{{x}^{3}}}{{{\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}$
Xét hàm $f(x)=\dfrac{x^{3}}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{2}}$ trên $\left( 0;+\infty \right)$ có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{-{{x}^{6}}+2{{a}^{2}}{{x}^{4}}+3{{a}^{4}}{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{4}}}$
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow -{{x}^{6}}+2{{a}^{2}}{{x}^{4}}+3{{a}^{4}}{{x}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=0\left( L \right) \\
& {{x}^{2}}=-{{a}^{2}}\left( VN \right) \\
& {{x}^{2}}=3{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow x=a\sqrt{3} $ (do $ x>0$ ).
Bảng biến thiên
Suy ra $\underset{_{(0;+\infty )}}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$ khi $x=a \sqrt{3}$
Vậy thể tích khối tứ diện $ACHK$ lớn nhất bằng $V_{\max }=\dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{16}$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{32}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$.
Ta sẽ sử dụng công thức $V=\dfrac{1}{6}a.b.d\left( a,b \right).\sin \left( a,b \right)$ (với a, b chéo nhau).
Đặt $SA=x\left( x>0 \right)$.
Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $S{{A}^{2}}=SH.SB\Rightarrow \dfrac{SH}{SB}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}$.
Mà $\dfrac{SK}{SD}=\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{HK}{BD}\Rightarrow \dfrac{SK}{SD}=\dfrac{HK}{BD}=\dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}\Rightarrow $ $HK=\dfrac{{{x}^{2}}a\sqrt{2}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$
Lại có $\dfrac{IH}{SA}=\dfrac{HB}{SB}=\dfrac{SB-SH}{SB}=1-\dfrac{SH}{SB}=1-\dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}\Rightarrow $ $IH=\dfrac{{{a}^{2}}x}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$
Mặt khác ta có $AC$ và $HK$ chéo nhau và $HK//\left( ABCD \right);AC\subset \left( ABCD \right)$ nên $H I=d(K H, A C)$ và $A C \perp H K$
Khi đó $\cdot {{V}_{ACBR}}=\dfrac{1}{6}AC.KH.HI=\dfrac{1}{6}\cdot a\sqrt{2}\cdot \dfrac{{{x}^{2}}a\sqrt{2}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}\cdot \dfrac{{{a}^{2}}x}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}=\dfrac{{{a}^{4}}}{3}\cdot \dfrac{{{x}^{3}}}{{{\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}$
Xét hàm $f(x)=\dfrac{x^{3}}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{2}}$ trên $\left( 0;+\infty \right)$ có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{-{{x}^{6}}+2{{a}^{2}}{{x}^{4}}+3{{a}^{4}}{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{4}}}$
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow -{{x}^{6}}+2{{a}^{2}}{{x}^{4}}+3{{a}^{4}}{{x}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=0\left( L \right) \\
& {{x}^{2}}=-{{a}^{2}}\left( VN \right) \\
& {{x}^{2}}=3{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow x=a\sqrt{3} $ (do $ x>0$ ).
Bảng biến thiên
Suy ra $\underset{_{(0;+\infty )}}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$ khi $x=a \sqrt{3}$
Vậy thể tích khối tứ diện $ACHK$ lớn nhất bằng $V_{\max }=\dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{16}$
Đáp án C.