Google
Câu hỏi: Cho hình tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc $AB=6a,AC=8a,AD=12a,$ với $a>0,a\in \mathbb{R}.$ Gọi $E,F$ tương ứng là trung điểm của hai cạnh $BC,BD.$ Tính khoảng cách $d$ từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left( AEF \right)$ theo $a.$
A. $d=\dfrac{24\sqrt{29}a}{29}.$
B. $d=\dfrac{8\sqrt{29}a}{29}.$
C. $d=\dfrac{6\sqrt{29}a}{29}.$
D. $d=\dfrac{12\sqrt{29}a}{29}.$
Cách 1:
Ta có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc nên $AD\bot \left( ABC \right).$
Gọi $K$ là trung điểm của $AB,$ vì $F$ là trung điểm của $BD$ suy ra $FK//AD$ mà $AD\bot \left( ABC \right)\Rightarrow FK\bot \left( ABC \right)$ hay $FK\bot \left( AKE \right).$
Kẻ $\left\{ \begin{aligned}
& KG\bot AE\left( G\in AE \right) \\
& KH\bot FG\left( H\in GF \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\left( K,\left( AEF \right) \right)=KH. $ Mặt khác $ BK $ cắt mặt phẳng $ \left( AEF \right) $ tại $ A.$
Suy ra $\dfrac{d\left( B,\left( AEF \right) \right)}{d\left( K,\left( AEF \right) \right)}=\dfrac{BA}{KA}=2\Rightarrow d\left( B,\left( AEF \right) \right)=2d\left( K,\left( AEF \right) \right).$
Trong tam giác $AKE$ vuông tại $K$ và tam giác $FKG$ vuông tại $K,$ ta có:
$\dfrac{1}{K{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{K{{F}^{2}}}+\dfrac{1}{K{{G}^{2}}}=\dfrac{1}{K{{F}^{2}}}+\dfrac{1}{K{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{K{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( 6a \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 3a \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 4a \right)}^{2}}}=\dfrac{29}{144{{a}^{2}}}\Rightarrow KH=\dfrac{12\sqrt{29}a}{29}.$
Vậy $d=\dfrac{24\sqrt{29}a}{29}.$
Cách 2:Ta có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc nên $AD\bot \left( ABC \right).$ Chọn hệ trục tọa độ $Axyz$ như hình vẽ, chọn $a=1,$ ta có $A\left( 0;0;0 \right),B\left( 0;6;0 \right),E\left( 4;3;0 \right),F\left( 0;3;6 \right).$
Ta có $\overrightarrow{AE}=\left( 4;3;0 \right),\overrightarrow{AF}=\left( 0;3;6 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AE},\overrightarrow{AF} \right]=\left( 18;-24;12 \right)=6\left( 3;-4;2 \right).$
Mặt phẳng $\left( AEF \right)$ nhận $\overrightarrow{n}=\left( 3;-4;2 \right)$ làm một vectơ pháp tuyến và đi qua $A\left( 0;0;0 \right)$ có phương trình là: $3x-4y+2z=0.$
Vậy $d\left( B,\left( AEF \right) \right)=\dfrac{\left| 3.0-4.6+2.0 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{24\sqrt{29}}{29}.$
Vì $a=1$ nên $d=\dfrac{24\sqrt{29}a}{29}.$
A. $d=\dfrac{24\sqrt{29}a}{29}.$
B. $d=\dfrac{8\sqrt{29}a}{29}.$
C. $d=\dfrac{6\sqrt{29}a}{29}.$
D. $d=\dfrac{12\sqrt{29}a}{29}.$
Cách 1:
Ta có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc nên $AD\bot \left( ABC \right).$
Gọi $K$ là trung điểm của $AB,$ vì $F$ là trung điểm của $BD$ suy ra $FK//AD$ mà $AD\bot \left( ABC \right)\Rightarrow FK\bot \left( ABC \right)$ hay $FK\bot \left( AKE \right).$
Kẻ $\left\{ \begin{aligned}
& KG\bot AE\left( G\in AE \right) \\
& KH\bot FG\left( H\in GF \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\left( K,\left( AEF \right) \right)=KH. $ Mặt khác $ BK $ cắt mặt phẳng $ \left( AEF \right) $ tại $ A.$
Suy ra $\dfrac{d\left( B,\left( AEF \right) \right)}{d\left( K,\left( AEF \right) \right)}=\dfrac{BA}{KA}=2\Rightarrow d\left( B,\left( AEF \right) \right)=2d\left( K,\left( AEF \right) \right).$
Trong tam giác $AKE$ vuông tại $K$ và tam giác $FKG$ vuông tại $K,$ ta có:
$\dfrac{1}{K{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{K{{F}^{2}}}+\dfrac{1}{K{{G}^{2}}}=\dfrac{1}{K{{F}^{2}}}+\dfrac{1}{K{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{K{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( 6a \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 3a \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 4a \right)}^{2}}}=\dfrac{29}{144{{a}^{2}}}\Rightarrow KH=\dfrac{12\sqrt{29}a}{29}.$
Vậy $d=\dfrac{24\sqrt{29}a}{29}.$
Cách 2:Ta có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc nên $AD\bot \left( ABC \right).$ Chọn hệ trục tọa độ $Axyz$ như hình vẽ, chọn $a=1,$ ta có $A\left( 0;0;0 \right),B\left( 0;6;0 \right),E\left( 4;3;0 \right),F\left( 0;3;6 \right).$
Ta có $\overrightarrow{AE}=\left( 4;3;0 \right),\overrightarrow{AF}=\left( 0;3;6 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AE},\overrightarrow{AF} \right]=\left( 18;-24;12 \right)=6\left( 3;-4;2 \right).$
Mặt phẳng $\left( AEF \right)$ nhận $\overrightarrow{n}=\left( 3;-4;2 \right)$ làm một vectơ pháp tuyến và đi qua $A\left( 0;0;0 \right)$ có phương trình là: $3x-4y+2z=0.$
Vậy $d\left( B,\left( AEF \right) \right)=\dfrac{\left| 3.0-4.6+2.0 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{24\sqrt{29}}{29}.$
Vì $a=1$ nên $d=\dfrac{24\sqrt{29}a}{29}.$
Đáp án A.